如果你想从高中数学过渡到大学水平的数学，数学思维是必不可少的。即使是我，一个数学研究生，也在努力获得这种能力。我认为我的大学在这方面做得不够。我不想接受一个最后有数百万个新定理和考试的系统。我想创建自己的教育。

学校数学对应于学习驾驶。数学思维的一个关键特征是跳出框框思考。但是怎么办？

他们不会在大学里教这个。

我认为 批判性 和 分析性 思维可能是跳出框框思考的解决方案。 在当今世界，跳出框框思考 是一种非常宝贵的能力。在高中，重点主要是掌握解决各种问题的程序。

这使该主题非常像一本食谱，充满数学食谱，在盒子里思考。在大学里，重点是学习以不同的方式思考，像数学家一样思考，在外面思考。我想学习这些技能以促进我的个人成长。所以我从 斯坦福大学开始了这门课程。

在大学里，我们必须学习如何处理一个新问题，一个不太适合我们熟悉的任何模板的问题。它归结为学习如何以某种方式思考问题。第一个关键步骤是学会停止寻找要应用的公式或要遵循的程序。

如果你不能通过寻找可遵循的模板或将一些数字插入的公式或应用程序来解决问题，你会怎么做？答案是你以某种方式思考问题。大多数时候我不会觉得自己有任何进步。所以我明白我的目标必须是理解，而不是做。在这门课程之前，我记了太多笔记，但现在我明白记太多笔记是没有效率的。

什么是数学？

• 对于像我这样可能花了几年时间学习数学的人来说，这可能看起来很奇怪。如果你只想学习新的数学技巧以应用于不同的情况，那么你可能不知道数学到底是什么。

在 19 世纪，数学的本质发生了重大变化。首先，它变得更加抽象。

其次，主要重点从计算和遵循程序转移到分析关系之一。重点的改变不是随意的。它是通过我们所熟悉的世界变得越来越复杂而产生的。

模式科学，根据 Keith Devlin 的描述，数学家识别和分析抽象模式。可以有数字模式、形状模式、运动模式、行为模式、人口中的投票模式、重复偶然事件的模式等等。它们可以是真实的或想象的模式、视觉的或心理的、静态的或动态的、定性的或定量的、实用的或娱乐的。它们可以来自我们周围的世界，来自对科学的追求或来自人类思维的内部运作。不同种类的模式产生了不同的数学分支。

有人说数学分支吗？..那些是什么？

例如，算术和数论研究计数和数字的模式。几何研究形状的模式。

微积分使我们能够处理运动模式。逻辑研究推理模式。概率论处理机会模式。拓扑学研究紧密度和位置的模式。（我认为这是我的 BS 中最引人注目的课程之一）

分形几何研究自然界中发现的细胞相似性。

19 世纪数学日益抽象和复杂的主要结果是，为解决重要的现实世界问题而开发的方法产生了违反直觉的结果。例如，Banach-Tarski 悖论。

总结一下；理论上，取一个球体并将其切割成可以重新组装成两个相同的球体，每个球体的大小都与原始球体相同。这并不是唯一的惊喜，数学家必须学会相信数学胜过我们的直觉。正如物理学家发现相对论和量子力学所做的那样。

数字的第一个用途是什么？

人们当然测量土地，他们使用各种尺度，但他们不使用数字。他们当然计算季节，但你可以不用数字来计算。你可以用木棍上的缺口数数，也可以用鹅卵石数数等等。我们的祖先只是为了赚钱发明了抽象数字 。

至少这是我们拥有的最好的证据，我们认为发生在大约 10,000 年前。19 世纪的主要焦点变成了概念和关系。那是一场发生在德国的数学革命。

猜猜……根据 Keith Devlin 的说法，当今发达国家最有价值的数学能力是？

• 采用旧方法或开发新方法。但当今世界的关键能力是采用旧方法或开发新方法。Keith Devlin 补充说真正的数学需要时间（是的......我想我需要意识到我也需要更多时间。 ‍）

在数学中，情况有所不同。精确度至关重要，不能假设所有各方都具有相同的上下文和背景知识以消除歧义。此外，由于数学结果在科学和工程中经常使用，因此歧义造成的误解成本可能很高，甚至可能是致命的。

数学陈述以高度受限的方式使用语言。

因此，这使我们能够创造数学语言。

• 例如 ”！” 在数学中表示阶乘，我们用“∩”表示集合的交集。

古希腊数学家似乎是第一个注意到所有数学陈述都可以使用这些简单形式之一来表达的人。

当这项研究以数学形式的方式进行时，它被称为形式逻辑或数理逻辑。数理逻辑研究是数学研究的一个成熟分支，至今仍在大学数学系、计算机科学系、哲学系和语言学系中使用。它比亚里士多德和他的追随者以及斯多葛逻辑学家在古希腊进行的原始工作要复杂得多。

被称为形式逻辑的学科最早是由哪个古代文明研究的？

• 答案是希腊人。

总而言之，大学数学的重点不是学习解决问题的过程，而是思考一个沙子。掌握一种新的思维方式最好通过小组合作来学习。

我正在寻找一个小组一起学习数学。如果你想加入我，请在本文下方发表评论。