在20世纪，几个关于实数的挑战性问题已经得到解决。然而，仍有无数看似简单的问题没有解决。例如，n!+1是任意整数n>7的平方。当一些问题得到解决时，新的问题又出现了，这是科学发展的本质。
数学是对形状、大小和情境的逻辑研究。数学的发展主要基于数的概念和图形的几何。由于图形的几何学承载了太多的直观想法，必须将对几何图形的依赖放在一边。另一方面，数论是在与科学思想一致的坚实基础上发展起来的。正是由于这个原因，数论基本上被所有的高等数学分支所采用。
认识到数字在理解宇宙中的重要性，毕达哥拉斯早在2500年前就说“数字统治宇宙”。克罗内克(1823-1891)用一句话来表达数字的意义:“上帝创造了整数，其余的都是人类的工作。”直到19世纪中叶，人们才普遍认识到数字作为一个独立实体的重要性，对数字的研究才从几何直觉主义中解放出来。三位德国数学家，K.威尔斯特拉斯(1815-1897)，R. Dedekind(1831-1916)和G.康托(1845 - 1918)主要分享了与实数理论发展相关的荣誉。
在实数分析或实数理论中，实数研究的发展是在自然数集合的几个连续的推广之后进行的。有趣的是，当实数理论进入这个领域时，复数理论(本质上是实数的概括)已经发展得很好了。然而，通过复数理论，实数分析获得了突出的重要性，就像早期的微分学通过积分学得到的那样。即使在17世纪，微积分也需要真正的分析来证明它的正确性，但它要等到19世纪中期才有了重要的支持。事实上，不仅是微积分，现代数学的几乎所有分支都归功于实分析的发展。
实数公理
实数的公理分为:
(1)扩展公理
(2)场域公理
(3)有序公理
(4)完整性公理
扩展公理
这个公理表明R至少有两个不同的成员。我们将相当频繁地使用这一公理，而不作任何具体的参考。
场域公理
实数通过加法和乘法这两种基本运算组合而成。下面给出这些操作所遵循的公理作为计算法则。
加法公理
封闭定律 : 集合R在加法运算下封闭。这是指任意两个实数的和或加法，即a,b∈R, a+b∈R。
结合律 : R中的加法运算是结合律。a, b, c R⇒∈(a + b) + c = a + (b + c)⇒(a + b) + c = a + (b + c)。
加性恒等式的存在性 : 存在一个实数0，a+0=0+a=a，∀a∈R。
加法逆的存在性 : 对应于每个a∈R存在一个实数b，使a+b=b+a=0。
加法的逆常被称为负的。上面的实数b被称为a的负数，写成- a。由于0+0=0，因此0是自身的负数，即0= -0。
交换律 : R中的加法运算是交换的，即a,b∈R， a+b=b+a,
乘法运算公理
封闭定律 : 集合R在乘法运算下封闭。这意味着任意两个实数的乘法，即a,b∈R, ab∈R。
结合律 : R中的乘法运算满足结合律。a, b, c∈R⇒(ab) c =a (bc)。
乘法恒等式的存在性 : 存在实数1，即a⋅1=1⋅a=a，∀a∈R。
乘法逆的存在性 : 每个a∈R对应一个实数b，使ab=ba=1。
乘法的逆通常被称为倒数。上面的实数b被称为a的倒数，可以写成1/a或 等。由于1⋅1=1，因此1是其自身的倒数，即 =1。
交换律 :R中的乘法运算是交换的，即a,b∈, ab=ba,
分配律 :乘法对加法运算满足分配律，即
a, b, c R⇒∈a(b + c) = ab + ac (右分配律)
a, b, c ∈R⇒(b + c) a= ba + ca(左分配律)
根据实数集的加法公理、乘法公理和分配律，将R称为域。有理数的集合Q也是一个域。
有序公理
实数具有有序关系。我们用符号“>”表示这种关系，它被理解为“大于”。这个公理基于符号“>”
- 如果a,b∈R, 那么仅有一个是真：a>b, 或a=b, 或b>a.
- 如果a,b,c∈R且a>b, b>c, 那么a>c.
- 如果a,b,c∈R且a>b, 那么a+c>b+c.
- 如果a,b,c∈R且a>b,c>0, 那么ac>bc. 完整性公理
R的每个非空子集A的上界都有一个最小上界。也就是说， A的最小上界存在并且是实数。