导读
导读REVIEW
“术数虽若六艺之末，而施之人事，则最为切务，故古之博雅君子马郑之流，未有不精于此者也。其撰著成书者，无虑百家，然皆以‘九章’为祖。”
——元·李冶《益古演段》
《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名。刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。刘徽注释《九章》时，在继承的基础上，又提出了许多自己的创见和发明：1．在数系理论方面，他用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等运算法则；他在注释开方术时，从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并且引进新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法；2．在筹式演算理论方面，他先给出“率”的明确定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立起数与式运算的统一理论基础，他还用“率”来定义古代数学中的“方程”，即现代线性方程组的增广矩阵；3．在勾股理论方面，他逐一论证了关于勾股定理和图解勾股形的计算原理，建立起相似勾股形理论，并发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”这类的典型图形的分析，形成了中国特有的相似理论；4．在面积与体积理论方面，他用出入相补、以盈补虚的原理，以及“割圆术”的极限方法的刘徽原理，解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题；5．割圆术与圆周率，他在《九章算术·圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，在算到192边形的面积时，得到π=3.14，在算到3072边形的面积时，得到π=3.1416，称为“徽率”；6．“牟合方盖”说，他在《九章算术·开立圆术》注中，指出了球体积公式
（D为球直径）的不精确性，并引入了“牟合方盖”（指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分）这一著名的几何模型；7．方程新术，他在《九章算术·方程术》注中，提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。并且，刘徽在自撰的《海岛算经》中，还提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”“四望”。刘徽的这些方法，对后世的启发非常大，即便是对现今数学也有很多可借鉴之处。
本书在编辑时，为了让读者一窥堂奥，在翻译的同时也对原文作了注释，对原题作了译解，而原书“术曰”所提供的解题法，则以“术解”的形式列出了其解题步骤。在注释解题的过程中，本书除了参考刘徽、李淳风的注释外，还参考了吴文俊主编的《中国数学史大系》第一、二卷和李迪著的《中国数学史简编》，以及白尚恕、李继闵、肖作政等先生的科研成果。
《九章算术》是一部问题集，全书分为9章，共收有246个问题，每题都由问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相联，充分体现了中国人的数学观和生活观。全书章与章之间、同章术与术之间、同术所驭算题之间都是按照由浅入深、由简至繁的顺序编排的。
卷第一“方田”：主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环，以及分数的通分、约分、加减乘除四则运算的法则，后者比欧洲早了1400多年。
卷第二“粟米”：主要讲各种谷物粮食的比率和比例算法。
卷第三“衰分”：主要讲比例分配问题。
卷第四“少广”：主要讲已知面积或体积，求一边长和径长等问题。本章也介绍了开平方和开立方的方法，这是世界上最早的多位数和分数的开方法则，它使我国在解高次方程数值方面长期领先世界。
卷第五“商功”：主要讲土石工程的计算和各种立体体积的计算，包括正四棱柱、圆柱、圆台、正圆锥等十种体积。
卷第六“均输”：主要讲合理摊派赋税和合理分配赋役的计算，其中今有术、衰分术，及其应用方法，构成了今天正反比例、比例分配、复比例、连锁比例等整套比例理论，而西方直到15世纪末才提出类似的理论。
卷第七“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法。这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位。
卷第八“方程”：主要讲由线性方程组的系数排列而成的长方阵问题，它相当于现在的矩阵。其中解线性方程组时使用的直除法，与现在矩阵的初等变换一致，这是世界上最早的线性方程组解法，西方直到17世纪才由莱布尼茨提出了线性方程的解法。另外，本章中还首次出现了负数的概念，并提出了正负数的加减法则。这是世界数学史上一项重大成就，它首次突破正数的范围，扩展了数系。直至7世纪，印度的婆罗摩笈多才认识到负数。
卷第九“勾股”：主要是讲直角三角形三边互求的问题，本章中提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则
。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅求得了这个公式的几种特殊情况；直到3世纪，丢番图才取得相近结果。而勾股章最后一题中给出的一组公式，直到19世纪末，才由美国数论学家迪克森得出。
《九章算术》是东方数学思想之源，也是我国历来各种考试的重要题库。在各级各类考试中，取材于《九章算术》的题目不胜枚举。可以毫不夸张地说，《九章算术》自成书之日起，就对我国数学界产生了巨大影响，它极大地推动了古代数学的发展，直至今天，其影响依然存在。
在本书中，我们还附录了《孙子算经》和《周髀算经》。《孙子算经》约成书于四五世纪，是一部关于乘除运算、求面积和体积、处理分数及开平方和立方的著作，其作者生平和编写年代都不清楚。本书中有个非常出名的“物不知数”问题，具体内容是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。”《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。这也是世界上最早提出算法的，被誉为“孙子定理”或“中国剩余定理”。这个问题在民间广为流传，人们称其为“韩信点兵”，并根据它编了一首“孙子歌”来表示它的解法，即“三人同行七十，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知”。也就是说，用3除余1，算70；用5除余1，算21；用7除余1，算15；把70，21，15这些数的倍数加起来，连续减去105，最后得出的最小正整数即为答案。后来，南宋大数学家秦九韶在总结“孙子定理”的基础上，创立了“大衍求一术”，将其发表在《数书九章》上，提出了关于一次同余式组问题的完整理论和算法，推广了“物不知数”的问题，取得了杰出成就。我们在选取《孙子算经》时，去掉了一些在现今科学技术环境下，容易造成误导的问题，另外全文是采取直译的方式，在最大限度上保留了《孙子算经》的原貌。
《周髀算经》是我国古代流传深广的天算著作，该书涉及到许多关于数学的内容，包括论述“勾三股四弦五”的勾股定理。它与《九章算术》在很多地方互为表里、互相补充，可以说是相得益彰。《周髀算经》的内容分别完成于西周、春秋战国、秦、汉等不同时期，是中国古代纯粹的数理天文理论著作。它的数据体系是以经验实测为参考，由理论计算所得，然后拿去与已有的数据相比较，同时预言某些数据，指导人们去做实验。因此，李志超先生认为：《周髀算经》是“科学理论的典范”，是“中国科学发展史上的一座丰碑，一座代表一个科学时代总结的里程碑”。《四库全书总目〈周髀算经提要〉》说，《周髀算经》“开西学之源”，这引起人们对《周髀算经》与外来文化的关系的高度关注；《周髀算经》盖天宇宙理论与古印度宇宙理论惊人的相似，其中关于寒暑五带知识，却是古希腊天文学的内容；《周髀算经》所构建的宇宙几何模型，又具有古希腊天文学的一般特征等。因此有学者断言：《周髀算经》隐藏了中西文化交流的大秘密。
本书所附《周髀算经》的注释参考了汉代赵君卿和唐代李淳风的注释，《周髀算经》原文主要采用校勘详实、版本珍贵的钦定《四库全书荟要》本（吉林出版集团2002年影印本）；章节划分采用了曲安京教授的科研成果，另外还参考了钱宝琮、陈遵妫、李志超、江晓原等先生的相关论述。