真的法律人，既要敢于直面惨淡的法条，也要敢于正视淋漓的数学。况且，初中数学即已够用，偶尔碰到一点有难度的内容，最多也不超过高中数学的范围，更何至于无端畏惧而不前呢？对于利率问题，我们完全可以再前进一步，弄清年利率和年化利率的区别。
在《借款利率三板斧之（二）——除了学好小学数学，还要学好法律》一文当中，我提出：法律只会要求年利率不得超上限，但对于付息节奏没有任何限制。因为付息节奏与时点，属于还款方式的一部分，可以也应该由合同双方自由约定。一年期到期还本的借款合同，只要合同中约定的年利率相同，则无论是每月付息，还是年底一次性付息，借款人支付的利息总数都一样。
但是，每月付息相较于年底一次性付息，借款人的负担显然更重一些。为了更直观，我们换成存款合同来说。其实，存款合同也是一种借款合同，是储户把钱出借给银行，或者说是储户在向银行放贷收息。储户收息的时候，每月收一次息比年底一次性收息，虽然息钱的总数一样，但每月收一次息显然要更划算。因为储户提前收到的息可以提前去用。储户划算了，就是银行向储户借款的负担更重了。
如何用数字衡量这种“更重”的负担呢？金融学上，基于“复利”的想象，发明了一种数学处理方法。储户每月收到了利息，他可以马上把利息再存到银行。这样，这个利息就变成新的本金继续生息了。如果是年底一次性付息，则年利息=单月利息×12，年利率=月利率×12。如果是按月付息，在假设可以马上再存入的情况下，年底会拿到多少钱呢？
上面这个年化利率的数值，显然比年利率（年利率=月利率×12）要大一点。所大的那个部分，就是以利生利，即利滚利的那一部分。但我们到银行存款时，并没有利滚利的产品（法律上也不应当允许这种产品），而按月取息的产品可能是有的。取出息之后，因为金额不凑整，实际上可能没法再存进去，但不妨碍我们在“想象”中把取出的利息又存进去了。
假如不是按月付息，而是每半年或者按季付息，则 年化利率=(1+年利率/2)^2-1， 或者是 年化利率=(1+年利率/4)^4-1 。但不论按什么频次付息，合同约定的年利率都一样的。这样看来，似乎年利率是一种单利，而年化利率是一种复利？并不是！复利就是利息所生的利息。但在合同中，不论是按什么频次付息，都没有发生过合同一方向另一方支付利上之利的事实。所以说，年化利率只是一种数学上的衡量，它用一个数值同时评价了年利率的大小和付息的频次安排。或者说，年化利率是对年利率考虑了付息频次安排之后的一种数学上或者金融学上的表达。
但可惜的是，越来越多的地方把年化利率当成一种法律上的表达甚至合同中的约定了。例如著名的《中国人民银行公告〔2021〕第3号》，它就规定“所有*款贷**产品均应明示*款贷**年化利率”。又规定：“*款贷**年化利率可采用复利或单利方法计算。复利计算方法即内部收益率法，具体示例见附件。采用单利计算方法的，应说明是单利。”似乎“年化”之化，还有所谓单利、复利的不同化法。如果把这复利的“年化利率”标明在合同之中，那我要如何收利息呢，去收复利吗？
央行3号令可能认为，按照复利计算方法即内部收益率法算出来的年化利率，会把付息频次的效果也包含在其中，显然要更加“公允”。其实并无必要。其复利、单利之说反而让老百姓更加不明觉厉。即便是所谓单利法下的“年利率”，存款满3年时一次性还本付息，和每年结息一次，又是何者为单利何者为复利呢？年利率和年化利率，其数值相差本不算不大，不如统一成“年利率”，反而更加直观。至于付息频率，合同中自然会说。不论是取息还是付息，对于一年几次，老百姓也很清楚。
统一成“年利率”之后，对于分期还款类产品，即可严格按照剩余本金乘以利率等于当期应付利息，然后当期还款总额减去当期利息等于当其还本的方法（暂称为剩余本金法），逐期去计算。进而判断合同中的还款计划表有没有欺骗成分，或者有没有哪一期的利率超过了高利的标准。
剩余本金法，和央行心心念念的内部收益率法，是完全等价的。接下来我们就用中学数学证明一下。实在有困难的读者，阅读本篇到这里也可以停止。
首先，我们先把内部收益率法的公式简单推导出来。
上面这个公式就是内部收益率法。这是一种基于现金流折现的方法，就是把未来每一期的现金流，求出其各自对应的现时数值。每一个现时数值相加即等于总的初始本金。再次提醒，这里的r是月利率，即年利率除以12得到的月利率。假设年化利率为R，按本文前半部分的定义，则：
这个公式就是央行3号令中，用于计算年化利率的公式。现在我们再来推导一下，剩余本金乘以利率等于当期应付利息可以计算出什么。
现在来计算每个月的剩余本金是多少。显然，每月还款的C中，扣掉当月利息，就是当月还入的本金。而月利息又等于上月末的剩余本金乘以月利率。这样，上月末的剩余本金减掉当月还入的本金，就是本月末的剩余本金。
上述推导过程，完全是基于剩余本金乘以利率等于利息——这是利率最原始的定义——而得出来的。它和复利、单利没有任何关系。它把C值看成剩余本金（即初始本金的一大部分）产生的利息加上当期还本之和。而未来现金流折现法中，C值是初始本金中的某一小部分所对应的终值。例如，每月付息，到期还本的还款方式中，剩余本金法下，C值是全部本金乘以月利率而得到的月利息。现金流折现法下，第一个C值是本金中的一部分在一个月后的终值，第二个C值是本金中的另一部分在两个月后的终值，尽管这两个C值相同。
可见，剩余现金法和未来现金流折现法是两种完全不同的推导方法。但两种方法得到的内部收益率公式却完全相同！那内部收益率公式的本质是什么呢？
在剩余现金法中，相当于每期的剩余本金都结算并支付了一个月的利息，并偿还了一小部分本金。下个月，对剩余本金再次支付利息。也就是说，对剩余本金分月付了好几次利息。如果是每个月只付利息，并不还本，就是在对一直不变的剩余本金支付了n次利息。所以说，和年底一次还本付息相比，每月分期还款的本质，就是每个月都结算一次利息。也就是利息结算的频次问题。
而我们前面说过，年化利率就是对年利率考虑了付息频次安排之后的一种数学表达。用未来现金流折现法计算出来的是年化利率，而用剩余现金法计算出来的是年利率。年利率和年化利率的差别，仅仅是付息频次不同。如果是年底一次性还本付息，则年利率和年化利率的数值完全相同。这里，不能说年利率是单利法，年化利率是复利法。只是说，年内多次付息的情况下，因为可以想象成复利的效果，从而使得年化利率和年利率产生了差别。
另外，按照央行3号令，以未来现金流折现法计算出来的是年化利率，还有可能导致在合同权利义务关系上的错误判断。假设有这样一种36期的产品，其还款计划表中既有利息，还有服务费。但只有前24期收取服务费，后12期则不收取服务费。如果按未来现金流折现法，以共36期的还款现金流来折算，求出的年化利率不低于24%，则会评价为不属于高利贷。
但如果借款人在第24期就提前结清，以共24期的还款现金流折算，就会超过年24%。这样就会造成，借款人提前还款的，就是高利贷；正常还款的，就不是高利贷。这显然是一种错误判断。而按照剩余现金法，每个月的最高利息只能剩余现金乘以2%。每期还款额中，超过最高利息额的部分，全部认定为已还本金。这样逐期去算，自然能解决法律所承认的剩余本金有多少的问题，和客户在哪一期提前结清无关。所以，更严格来讲，剩余现金法才是法律上应当认可的唯一方法。而未来现金流折现法则不应当做为一种确定合同权利义务数额的算法。
本文的最后一部分，供读者朋友们做一个测试案例，以锻炼一下思维能力。当银行把钱借给我们时，例如在房贷当中，我们每个月向银行付一次息，是要把所有的剩余本金所产生的利息都结算一次。当我们把钱借给银行时，例如在整存零取产品中（假设是每月取一次款），银行每月向我们付息时，却不会把所有剩余本金所产生的利息都结算给我们，而只会把银行向我们还本的那部分本金所产生的利息结算给我们。这就是说，银行对我们，是一次性还本付息，并没有分月付息。而我们对银行，是分月付息。看起来，银行似乎很坏。但在合同约定上，银行其实说得很清楚，并无任何不合法之处。下面列出某银行整存零取的相关规则作为本文结尾：
整存零取属于定期储蓄存款。一千元起存，本金一次存入。支取期分一个月，三个月，半年，由用户在开户时设定， 利息于期满结清时支取。 存期有一年期、三年期两种。每期支取本金=存入本金÷支取期数。每期本金计算定期利息。 每期本金利息=每期本金×整存零取年利率/365×实际存入天数。