数学思想从计数开始。我们日常用来计算的数字是熟悉的：1，2，3，等等。因为不存在而无法计数的——但需要给这个不存在一个数字符号——指向了数字0。当我们把这些自然数相加或相乘，结果总是得到另一个自然数。但减法给我们带来了一些麻烦：当我们从5中减去3，5–3，这没问题。但是如果我们用另一种思路来做减法3–5，其结果就不是一个自然数。为了解决这个问题，我们制造了负数–1，–2，–3，等等。
总的来说，所有这些正数、负数与0，统统被称为整数。数学家们使用固定的大写Ｚ来表示所有整数的集合：
Ｚ={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
分数是由整数导致的问题。虽然我们可以将两个整数相加、相减或相乘，并确保其结果是整数，但是两个整数相除的结果可能不是一个整数。
已知两个正整数为a和b，如果a÷b的结果是一个整数，我们就说a可以被b整除。我们也可以说b是a的因数，或者说b是a的约数。
例如，24可以被6整除（因为24÷6的结果是一个整数），但是24不能被7整除（因为24÷7的结果不是整数）。每个正整数本身都可以被自己整除：如果a是一个正整数，那么a÷a=1，1当然是一个整数。每个正整数都可被1整除，因为如果a是正整数，则a÷1=a。
如果一个正整数只包含两个正约数——1和它本身，这个数字就被称为质数。
比如，17就是一个质数，因为它的正除数是1和17。同样，2也是质数。
相对应的，18不是质数，因为它除了可以被1和它自身整除之外，还可以被2，3，6和9整除。那些与18相似特性的数字被称为合数。准确地说，合数是指除了1和它本身之外，还可以被其他正整数整除的正整数。
这个分类方式将除了1之外的正整数分为了质数与合数。我们称1为幺元（unit）。正如一些人因为冥王星不被认为是一颗行星而感到烦恼，也有一些人因为1不被认为是质数的事实而感到被“冒犯”。我们将解释为什么1拥有自己独立的类别。
总而言之，我们有三类正整数：
●只有一个正约数的幺元，
●拥有两个正约数的质数，
●拥有三个或更多正约数的合数。
注意：1是正整数中唯一的幺元，而合数是无限多的，数字4、6、8、10、12，等等，都是合数（远不止这么多）。
