●从高斯的巧妙算法谈起科学家讲坛陈景润(中国科学院数学研究所研究员)

答案见文末

十八世纪时，德国出了一位大科学家，他的名字叫高斯(C·F·Gaus)。高斯生在一个很贫穷的家庭里，他父亲是一个劳苦的工人。据说，高斯在还不会说话的时候就开始学习算术。三岁时，有一天晚上他看着父亲计算工钱，还纠正了父亲计算中的错误。长大后，他成为当时最杰出的数学家、物理学家和天文学家。现在，电磁学中的一些单位，还是用他的名字来命名的，数学家们则称他为“数学王子”。高斯八岁时进入乡村小学读书，教算术的是一位从城里来的老师。这位老师觉得在乡下教几个穷孩子读书，真是大材小用。他认为，穷人的孩子天生都是笨蛋，这些蠢笨的孩子一定不会把书念好。如果有机会，还要打他们几下，以使自己在这枯燥的生活里增添一些乐趣。有一天，算术老师情绪很低落。同学们看到老师非常不高兴的脸儿，都害怕起来，心想今天可能又有谁要挨老师的打了。老师说：“你们今天替我算算1加2，加3，加4，加5，一直加到100的和。谁算不出来，就罚他不准回家吃午饭！”老师讲完这句话，什么也不管，独自坐到椅子里看小说去了。课堂里的小朋友们拿起石板开始计算:1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10，10加5等于15，15加6等于21，21 加7等于28，28加8等于36，…有些小朋友加到几个数字后， 就把石板上的结果擦掉了。继续加下去，数字越来越大，很不好算。不少孩子的脸涨得通红，有的孩子的头上渗出了汗珠。还不到半点钟，小高斯拿起了他的石板，走上前去。“老师，答案是不是这样?”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去！回去再算！错了！”他想，不可能这么快就会有答案的。可是，高斯却站着不动，把石板伸向老师面前。“老师，我想这个答案是对的。”算术老师本要怒吼起来，可是一看石板，上面整整齐齐写着:5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数值也是5050。这个八岁的小鬼怎么这样快就得到了这数值呢?高斯解释了他发现的一个方法，这就是古时我国人和希腊人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，认识到自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的想法是错误的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修，并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便开始在数学上作了一些重要的研究。古时的中国人和希腊人怎样算1+2+3+…+n?宋朝数学家杨辉和他的学生们用1个圆球代表1，用2个圆球代表2，用3个圆球代表3，当n≥4时，用n个圆球代表n。于是有：

以上内容摘自《数理化生园地》1983年第2辑，上海科学技术出版社

作者简介：

陈景润

（中国科学院院士、数学家）

陈景润（1933年5月22日～1996年3月19日），男，汉族，福建福州人，中国著名数学家。

1933年5月22日出生于福建省福州市仓山区。1949年至1953年就读于厦门大学数学系，1953年9月分配到北京四中任教。1955年2月由当时厦门大学的校长王亚南先生举荐，回母校厦门大学数学系任助教。1957年10月，由于华罗庚教授的赏识，陈景润被调到中国科学院数学研究所。1973年发表了（1+2）的详细证明，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献。 1981年3月当选为中国科学院学部委员（院士）。曾任国家科委数学学科组成员，中国科学院原数学研究所研究员。1992年任《数学学报》主编。

1966年发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。

1973年他在《中国科学》发表了“1+2”的详细证明并改进了1966年宣布的数值结果，立即在国际数学界引起了轰动，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献，是筛法理论的光辉顶点。他的成果被国际数学界称为“陈氏定理”，写进美、英、法、苏、日等六国的许多数论书中。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。

1996年3月19日下午1点10分，陈景润在北京医院去世，年仅63岁。

2018年12月18日，*党**中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。

2019年9月25日，入选“最美奋斗者”个人名单。

其他著作还有《初等数论》。

读书笔记

如果让今天的小学生做高斯的这道等差级数求和题，不许用高斯的算法，会用怎样的方法做呢？我们来探讨一下，用其他方法怎么求和。高斯的方法应该是最佳算法，巧妙地把不同的加数转化为相同的加数，于是加法计算题居然可以回避加法，只用乘法和除法就求出答案。当然，一题多解是常有的事，还有其它方法。方法一：最简单的方法就是直接算，不动脑，硬算也可以。打百子(driving hundred beads)是练习珠算拨珠指法和加法口诀的一种方法。即从1加起，依次加到100，结果为5050；再从5050依次减1,2,…到100得0。当年学珠算的同学，用这道题练基本功，就是从1开始，挨着加，一个不漏地把100个数加完，目的是练指法和练速度与准确性。用算盘硬算，如果指法和口诀都很熟练，其实也很快。如果你用算盘亲自练习过，会形成肌肉记忆。即使很多年没有摸过算盘，你也会记得加到36的时候，得数是666，如果不是，那你的算盘一定打错了。再说第二种方法。可以把100个数分类，第一步可以分为三类，即个位数、十位数和百位数。十位数有90个，即个位是0的整十数有9个，个位不为0的十位数有81个。第二步把这81个十位数继续拆分，每一个都拆分为整十数加个位数。现在100个数变成了181个数，虽然数变多了，但是变得很有规律。这181个数可以分为三类：个位数90个，十位数90个，百位数1个。现在，这90个十位数的个位都是0，大大降低了计算难度。我们知道，从1加到9，等差级数的和是45，下面我们开始分类计算，最后再相加。先算90个个位数之和。算式是45×10=450。再算90个十位数之和。计算之前先分组，简化计算。可以把10、20到90这9个数分为一组，共分10组，每一组的数字都一样。于是可以列算式450×10=4500，这就把个位数和十位数都算出来了。百位数只有一个，于是列出算式：450+4500+100=5050谈谈第三种方法。把这100个数依次按顺序分为10组，每组10个数。第一组的和是55，第二组的和是55+10×10=155，第三组的和是55+10×20=255，根据规律，10组的和都可以算出来。算式如下：55+155+255+...+955=55×10+100+200+300+...+900=550+45×100=5050还有第四种方法：把这100个数分为奇数和偶数两组，分别求和再汇总就得到答案了。先算奇数，首项是1，末项是99，项数是50，可得以下算式：50（99+1）÷2=2500。再算偶数，显然有2500+50=2550。因为把奇数和偶数排成两列，显然每一个偶数比对应的奇数大1，共50个偶数，所以偶数和是2550。列算式就是2500+2550=5050