考生须知
1.考生要认真填写密封线内的班级、姓名、学号.
2.本试卷包括21道题，共4页.考试时间120分钟，满分150分.
3.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答.
4.答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁.
5.除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色字迹的签字笔.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（ ）
A.
B. |z|≥1
C. z一定不是纯虚数
D. 在复平面上，z对应的点可能在第三象限
4. 函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
5. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
6. 在锐角中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10. 设函数的定义域为D，如果存在常数对任意都存在唯一的使得成立，那么称函数在D上具有性质P，现有函数：
①；②；③；④.
其中，在其定义域上具有性质P的函数的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数为纯虚数，则实数________.
12. 若向量与向量共线，则实数___________ .
13. 设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________ .
14. 过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________.
15. 设函数，
①若a=2，则该函数最大值为________
②若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是________
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数
（1）求的值；
（2）求该函数单调递增区间；
（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.
17. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 .
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
18. 已知函数的最小正周期为，
（1）求的值
（2）求在区间上的最大值和最小值.
19. 已知△ABC满足____，且b，A，求sinC的值及△ABC的面积．从①B，②a，③a＝3sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．
20. 已知函数
（1）求曲线在点（1，）处切线方程；
（2）若对恒成立，求的最小值.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）函数在区间上存在最小值，即，求证：.
北京市第三十九中学2020—2021学年度第一学期
高三年级数学期中试卷
考生须知
1.考生要认真填写密封线内的班级、姓名、学号.
2.本试卷包括21道题，共4页.考试时间120分钟，满分150分.
3.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答.
4.答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁.
5.除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色字迹的签字笔.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合A，再求交集运算
【详解】故
故选：A
2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】解：对于，在为增函数，故在为增函数，故A正确；
对于B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于C：在定义域上单调递减，故C错误；
对于D：在定义域上单调递减，故D错误；
故选：A
3. 已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（ ）
A.
B. |z|≥1
C. z一定不是纯虚数
D. 在复平面上，z对应的点可能在第三象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：，，故错误；
，故正确；
当时，为纯虚数，故错误；
虚部为1大于0，在复平面上，对应的点不可能在第三象限，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
4. 函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的定义域和单调性可选出答案.
【详解】函数的定义域为，排除选项CD，又因为函数单调递增，排除选项B,
故选：A
5. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
6. 在锐角中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可用正弦定理先求出，再由三角函数中的平方关系及角的范围，求出，进而得到答案.
【详解】在锐角中，若，，，
由正弦定理，可得，
由为锐角，可得．
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
7. 设为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的知识可得等价于，即可得答案.
【详解】因为
所以“”是“”的充分必要条件
故选：C
8. 已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x，xz，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可
【详解】由图可知，的3个根为0,1,2，
，
解得，
又由图可知，为函数f (x)的两个极值点，
的两个根为，
，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.
9. 已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加法和减法法则得，即得，可知点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，根据圆的性质可得的最大值.
【详解】由，，得，即点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，所以的最大值为，
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法和减法运算，点的轨迹，以及点与圆的位置关系，关键在于运用向量的加法和减法法则对向量已知的向量关系化简成在个向量或两个向量间的关系，属于中档题.
10. 设函数的定义域为D，如果存在常数对任意都存在唯一的使得成立，那么称函数在D上具有性质P，现有函数：
①；②；③；④.
其中，在其定义域上具有性质P的函数的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
对各个选项分别加以判断：根据“性质的函数”的定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案．
【详解】解：①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，
对于任意，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．
②的定义域，值域，对任意，都存在唯一的，使得为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，故②不是定义域上具有性质的函数．
③的定义域为，函数的值域是，而且是单调增函数，所以对任意，都存在唯一的，
对于任意，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．
④的定义域为，值域是，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在的，使得为常数），恒成立，但是不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数
故选：．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数为纯虚数，则实数________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求得值．
【详解】解：为纯虚数，
，解得．
故答案为：．
12. 若向量与向量共线，则实数___________ .
【答案】；
【解析】
【分析】
由向量与向量共线，列出方程，即可求解.
【详解】由向量与向量共线，则，解得.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共线的坐标表示方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13. 设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________ .
【答案】a=1，b=0，c=-1
【解析】
【分析】
举反例说明即得解.
【详解】举例说明a=1，b=0，c=-1，满足c<b<a且ac<0，
但是，不满足ab<ac.
故答案为：a=1，b=0，c=-1
14. 过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________.
【答案】 (1). （e，1） (2). x-ey=0
【解析】
【分析】
设切点坐标为：，求导，根据切线过原点，由切线的斜率求解.
【详解】设切点坐标为：，
因为，
所以，
因切线过原点，
所以切线的斜率为：，
解得， ，
所以切点坐标为：，
切线方程为：，即x-ey=0，
故答案为：； x-ey=0.
15. 设函数，
①若a=2，则该函数的最大值为________
②若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是________
【答案】 (1). 4； (2). 或
【解析】
【分析】
①分两段求最值，再比较可得结果；
②若，则可知没有零点；若时，有解得或或，根据函数恰有2个零点，可求得结果.
【详解】①若a=2，则，
当时，为增函数，，
当时，在上递增，在上递减，所以当时，，
所以的最大值为4.
②若，
当时，由得（舍），
当时，由，得（舍）或（舍），
所以没有零点，不合题意；
若时，
当时，由得，
当时，由，得或，
当时，，要使恰有2个零点，必有，即；
当，即时，要使恰有2个零点，必有，即，所以；
综上所述：实数a的取值范围是或.
故答案为：4；或
【点睛】关键点点睛：①文中，分两段求函数值的范围是解题关键；②问中，对和讨论，利用方程求出实根，再根据函数恰有2个零点，列式求结果是解题关键.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数
（1）求的值；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.
【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接代入求值；（2）解不等式得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可
【详解】解：（1）
（2）当时，单调递增
解得：
故的单调递增区间为：
（3）先列表
0
-
-
0
-1
0
1
0
图像如图
17. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 .
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）确定为5千件时，利润最大．
【解析】
【分析】
(I)用销售收入减去生产成本即得利润；
(II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．
【详解】(I)净利润是 (万元)，则，
∴；
(II)时，，
由“对勾函数”知，当，即时，，
当时，是减函数，时，，
∴时，，
∴生产量为5千件时，利润最大．
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．
18. 已知函数的最小正周期为，
（1）求的值
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．
（2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．
【详解】解：（1）因为
，
所以的最小正周期，，
解得
（2）由（1）得.
因为，所以.
所以，当，即时，取得最大值为1；
当，即时，取得最小值为.
19. 已知△ABC满足____，且b，A，求sinC的值及△ABC的面积．从①B，②a，③a＝3sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．
【答案】选①，，；选②，无解；选③，，.
【解析】
【分析】
选①，根据已知条件，求得，再由正弦定理求得，即可用面积公式求得三角形面积；选②，根据大边对大角，即可判断三角形无解；选③，由正弦定理求得，即可求得以及三角形面积.
【详解】选①，由A+B+C＝π可知，
由正弦定理有，即，解得a＝3，
∴.
选②，显然角是三角形中最大的角，但，
故不存在这样的三角形，无解.
选③，由正弦定理可得：，即，
解得，故可得或（舍去）。
故，
.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形解的个数的判断，属综合基础题.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（2）若对恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导，再分别求得，，用点斜式写出切线方程.
（2）根据对恒成立，则，再利用导数求解即可.
【详解】（1）的定义域为.
由已知得，且.
所以.
所以曲线在点（1，）处切线方程为.
（2）设，（）
则.
令得.
当变化时，符号变化如下表：
1
0
极小
则，即，当且仅当时，.
所以在上单调递增.
又，
因为对恒成立，
所以，
所以的最小值为为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；；
21. 已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）函数在区间上存在最小值，记为，求证：.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由导数求出函数的单调性，即可得出函数在区间上的最大值；
（2）求导得出，讨论的值，确定函数的单调性，得出函数有最小值时的取值范围，再令，由（1）得出的单调性，进而证明该不等式.
【详解】解：（1）当时，，则
因为，所以.
所以在区间上单调递减
所以区间上最大值为.
（2）由题可知
.
①当时，由（1）知，函数在区间上单调递减
所以函数无最小值，此时不符合题意；
②当时，因为，所以.此时函数在区间上单调递增
所以函数无最小值，此时亦不符合题意；
③当时，此时.
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
所以
即.
要证，只需证当时，成立.
即证
设，
由（1）知
即成立.
所以.
【点睛】在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不等式.
