蔡宏圣
特级教师，正高级教师，苏州姑苏区教研员，苏教版教材编委；南京师范大学、广西师范学院等院校兼职教授；HPM研究（数学史与数学教育）获江苏省教学成果特等奖、国家教学成果二等奖；著有《数学史走进数学课堂案例与剖析》。
导 读
让数学史“复活”在课堂上
蔡老师的课，不大好看。一堂“百分数”，“你学懂了什么”“又学懂了什么”“还学懂了什么”，三次追问“疏可跑马，密不透风”。这样的课堂节奏在其他老师那里很少看到，有老师直言：有的地方太闷，有的地方太快。
蔡老师的课，不容易懂。一堂“倒推的策略”，着力点不在“倒着想”，也不在正确计算，而是花大力气让学生或摘录条件，或画图，或列表，优化对问题过程的记录。这样“舍近求远”，有老师直言：看不懂。
但蔡老师的课，很值得看。何止值得看，还值得品。为何这么说？因为数学史的元素使他的课有了不一样的视角。若以情境之新、课件之奇、环节之顺来评价，那蔡老师的课称不上光鲜亮丽；但若以思想性、数学味、厚重感来评价，那蔡老师的课是此中翘楚。很多名师的课，顺畅甜腻如蜜枣；而蔡老师的课，苦中带甘如橄榄。蔡老师的课，有营养，不缺钙。——这一次大家看的这一组文章，应该能说明这一点。
数学史的视角不仅暗合弗赖登塔尔“再创造”的观点，也昭示了一种“复演论”的思维方法。“复演论”最初源于胚胎学，认为个体的发生史“复演”了种群的发展史。这一理论自提出以来就争议不断，却一直在教育界有一定的生命力。您看，学生在课堂上经历数学知识产生、发展、定型的过程，不正有“复演”的意味吗？
维果茨基也提出了类似的思维视角，他指出，要理解心理机能的任何方面都必须理解其产生的起源与历史。这样的“发生学”视角，也可以为我们所用，作为处理好知识的发生逻辑、教材的编排逻辑、课堂的教学逻辑的重要参考。
从方*论法**的角度讲，数学史视角正是一种理论工具，将之运用于教学设计时，历史就复活了，有了此时、此刻、此地的意义。
感谢蔡老师，让我们看到了原来被遗忘和隐藏的风景！
——导读撰文：陈洪杰
携手了，便未曾放开
——探寻“数学史”的教育意义
缘起
2003年，做案例《乘法的初步认识》时，我在想：人类是怎样把相同加数的加法提升为乘法的，教学能不能呈现这样的过程。后来，成文《文化视野中的小学数学教育实践与思考》，获得了省教育厅办公室主办的“教海探航”征文一等奖。这是我第一次有意识地从数学史的角度去考虑教学，并尝到了甜头。
2011年暑期，《江苏教育》杂志出刊“苏派新生代名师的教学主张”，我又想：儿童的认知是直观感性的，数学的特性是理性抽象的，数学教育就是在这两者间实现平衡，这便是“和谐数学”的根本意义。外人看来，教学主张中看似没有了数学史，但我自己知道数学史之于“和谐数学”的作用。后来，形成了成果《“和谐数学”教学主张的构建及实践》，并获得了江苏省教学成果一等奖……
这一路过来，自从有意识地携手了数学史，便未曾放开，越琢磨，越感慨其智慧无边。
一、数学史是历史的知识，能还原被省略压缩的丰富细节
小学生好奇心强，好问“为什么”。如果问“为什么0没有倒数”，可以依据定义这样来回答“因为乘积为1的两个数互为倒数，0和任何数相乘都得0，找不到一个数和0相乘得1，所以0自然没有倒数”。如果学生问：小数不小啊，为什么要称为“小数”呢？为什么称未知数为“元”，方程的解为“根”呢……诸如此类问题，那如何回答？
可以发现，有些“为什么”的问题，在逻辑上已经无从回答，即便是一个数学上满腹经纶的老师都深感棘手。为什么出现这种状况？
上述的“为什么”，有学者将它们分成了两类，一类称之为“逻辑上的为什么”，一类称之为“历史上的为什么”。“逻辑上的为什么”，可以利用教科书中的定义和逻辑作出回答，而“历史上的为什么”教科书已经无能为力了。师生据以进行教学活动的教科书，它具有概括性和简明性，在编写过程中无奈略去了很多细节。省略的东西，用著名数学家M·克莱因在其著作《古今数学思想》序言中的话来说，就是“课本上字斟句酌的叙述，未能表现出数学思维创造过程中的斗争与挣扎、挫折与失败，以及在建立一个数学结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的努力”，只剩下了纯粹的概念、符号、公式、定理、问题。
所以，“历史上的为什么”只能超越教科书，用数学史来回答。数学史，研究数学知识的起源、形成与发展，向前能诠释一个知识、一个思想乃至一个数学分支的源，向后能诠释它们的流。对于寻求理解“现在之所以成为现在这样子”的人们来说，过去的事情都在历史里，所以从这个意思上说，数学史提供了整个课程的概貌。
原来，在中国古代数学著作中，分、厘、毫、秒、忽等单位经常用来表示小数的位置，它们间的关系便是十进分数制，“忽”以下的单位不再给予专有的名称。三国时代数学家刘徽他在注《九章算术》时，对于开不尽的根，将不再命名的“忽”以下的部分称为“微数”：微数无名者以为分子，其一退以十为母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细。可见，刘徽所说的微数就是我们今天所说的带小数的小数部分，确实是较小的数。今天，我们所说的“小数”不再只限于纯小数，也就是说，随着时间的推移，概念名称的字面意义已经和概念内涵分道扬镳了——一个概念为什么这么称谓，不会无缘无故，一定有合情合理的一段历史。
教科书不仅省略了许多，而且也压缩了不少数学知识逐步约定、逐步完善的过程。例如复杂的计算，需要分解为多个简单数目的计算，为了不遗忘中间步骤的计算结果，就需要进行记录，这便是计算竖式的由来。翻读历史，你可以发现现代样式的计算竖式，都不是一蹴而就形成的，曾经在历史上留下痕迹的竖式用现代的眼光看，都留有明显的缺陷。既如此，我们为什么不容许学生在刚学写竖式的时候“丢三落四”呢？
计算方法的约定也有个过程。多位数的加减，我们现在约定从个位算起，为什么这样约定？因为从高位算起，如果后面计算中遇到进位或退位，那就必须回头重新调整已经完成的高位计算结果。而从个位算起，不存在这种麻烦。但问题是，人类祖先如果没有经历这样的麻烦，未必会作出“从个位算起”的规定。既如此，学生首先学习不进位的加法和不退位的减法，也就不必咬牙切齿地训斥从高位算起的学生。让他们在后面的学习中遇见那些麻烦，让他们自己去改——只要是正常的人，谁会一直乐意遭受麻烦呢？
教科书中的数学从概念到定理那么严谨自如，从例子到公式那么理所当然，但数学史却告诉我们，每一个数学成果都是点点滴滴累积而成的，常常几十年乃至几百年的努力才能迈出有意义的几步。懂得“怎么变成现在这样子”了，教学无疑更为从容和淡定。
二、数学史是开掘的路径，能揭示教学智慧的其他可能
牛顿说：“如果我比别人看得远些，那是因为我站在巨人的肩上”。的确，牛顿没有说错。数学上的每一项成果都是世代累积的结果，但即便如此，也不可否认杰出数学家在关键节点推动数学向前发展的决定性作用。不过，杰出数学家也是人，所以，历史上便有数学家之间的“口水仗”。
这其中最典型的要数牛顿和莱布尼茨之间关于微积分发明优先权的争吵。1665年开始，牛顿把自己关于微积分的想法陆续告诉了周围的朋友。1669年他完成了关于微积分的重要著作，并递给了英国皇家学会会员，但很遗憾论文被拖到了1711年才得以发表。莱布尼茨在1675年11月完成了关于微积分的历史性手稿，独立于牛顿创造了微积分，并在1684年发表了论文。1712年，英国皇家学会公开指责德国数学家莱布尼茨剽窃英国数学家牛顿的微积分思想，莱布尼茨及其追随者群起而反击，一场旷日持久的口水仗便开始了。
随着争论的升级，几乎整个欧洲都卷了进来，演变成了英国和欧洲大陆之间的荣誉之争，而不仅仅是两个数学家之间的恩怨，即使两人先后去世后，纷争还没有停止。这也使得英国在相当长的时间里，都拒绝使用在欧洲大陆更为流行、符号合理、使用方便的莱布尼兹的微积分方法，妨碍了英国18世纪在数学方面的发展。
除了微积分优先发明权的纷争外，历史上还有笛卡尔和费马互相指责对方抄袭自己的解析几何方法，匈牙利数学爱好者鲍耶误会俄国数学家罗巴切夫斯基剽窃自己的非欧几何思想（高斯死后公布的信件、日记、书稿表明，他也独立地提出了非欧几何），等等。数学史中关于某个数学成果优先发明权的纷争，有力地表明了存在着这样一种历史现象，即不同的数学家独立地在不同的时间里创造了同一个数学成果。向前追溯，这种现象同样存在于人类数学的萌芽时期：所有的古代文明都有刻痕计数和结绳记事的方法，丰富的考古资料和事实根据支持这个观点——所有这些表明：在一定的情境中，人类的思维按照逻辑走下去，创造出某个数学成果是必然的，只不过创造的时间、创造的人不同而已。
基于数学史作这样的提炼，我们也就能推测，学生数学学习的认知过程和人类数学创造的发展过程相类似。只要认知扩展的情境在，只要人类思维的逻辑在，那么数学家们曾经经历的认知提升过程，曾经经历的认知困惑、认知挫折等，人类的孩子自然也会经历。
著名数学教育家波利亚说，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”。教学“用字母表示数”，一个公认的教法是利用教师和学生间的年龄关系，老师问“当某同学10岁时，老师多少岁？”学生答：“老师10+16=26岁”；老师再问“当某同学15岁时，老师多少岁？”学生答“老师15+16=31岁”；然后老师问“当某同学a岁时，老师多少岁”，由此引出了“用字母表示数”。
2007年，我读这样的案例不禁琢磨，通过这样的学习，学生理解的知识意义与客观的数学本质有多少距离？“用字母表示数”到底意味着什么？这样的问题如同一个“暗箱”，你不可能通过询问学生得到清晰的答案，只有从历史中去寻找。
对于“用字母表示数”，初等代数史上有两个经典时刻。一个是公元3世纪，古希腊的丢番图在其著作《算术》中首次用字母表示数，他用音节第一个字母的缩写来表示未知量。未知量不同，音节不同，表示未知量的缩写字母不同，列出的方程也就不同，解方程的方法当然也不同。因而，丢番图解一个方程用一种方法，全凭高度的技巧。难怪有人说：研究了丢番图一百个方程的解法后，还是不知道怎样去解第一百零一个方程。第二个历史的经典时刻是16世纪，法国数学家韦达实现了历史性的突破，他不仅用固定的几个字母表示未知数，而且用某几个字母表示已知数，因而方程有了更一般的形式，解法也就有了更通用的办法，开创了符号代数的时代。把两个历史时刻联系起来看，学习“用字母表示数”最重要的一点是体会用字母去概括已知量，这才是对人类原有认知极限的突破。
牛顿和莱布尼茨创建的第一代微积分，应用解决实际问题很管用，但数学原理上说不清楚。130多年后，柯西和魏尔斯特拉斯等建立了第二代微积分，把微积分建立在严谨的极限理论上。数学分析虽然严密了，但由于概念和推理烦琐迂回，对于一般要学习高等数学的人来说，是听不明白的微积分。第三代微积分，是正在创建发展的新一代微积分——不但严谨，而且直观易懂。三代微积分，在具体计算方法上没有不同，不同的只是对原理的说明。微积分发展的这段历史，清楚地说明了一个数学成果的史学形态和最终的学术形态是有距离的，但史学形态却展示了一个数学成果逐渐完善严谨的过程，这样的过程对于学习者理解学术形态的表达，是有重要启示意义的。这正如英国数学家阿蒂亚爵士所言的：一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上！
由此看来，教学中要组织教育形态的数学，要注意从数学史中去寻找教学智慧，一个知识产生、完善过程中的磕磕碰碰，虽然对于知识本身来说没有意义，但对于学习者来说，却是一条产生深度理解的路径。
三、数学史是厚实的背景，能构建教师个人的教学哲学
关于教师在课堂教学中的角色和地位，我们有很多种提法，但无论怎样，我们都不可否认教师的价值引领作用。正由于教师在教学活动中发挥了不可缺失的引领作用，所以，教师所具有的观点与信念，特别是关于“数学”以及由此派生出的关于“数学教育”的观念，对于数学教育就有着特别重要的影响。换言之，无论是有意识还是无意识，教师所具有的数学观念在很大程度上决定了他以什么样的方式从事数学教学活动。限于篇幅，我们从历史的角度只讨论数学教育最重要的使命是什么。
为了增强说服力，我们回到数学的源头。数和形是怎么起源的，是数学史研究饶有兴趣的重要课题。由于这段历史发生在史前时期，所以研究的成果都带有推测性，但这不妨碍人们对数形起源的正确解读。
远古时代，原始人为了生存最关心的问题是今天“有”还是“没有（无）”果实或猎物，在进一步认识“有”的过程中，逐渐分辨出了“多”与“少”。促进人类先祖计数活动进一步发展的是食物的分配和交换活动，比如以羊群中的羊去换牛群中的牛，一只对着一只牵出，直到合适为止，在这样的活动中渐渐获得了“一一对应”、“一样多”的认识。“数（shǔ）数（shù）阶段”的后期，因为计数范围的不断扩大，计数数目的不断增多，过渡到了“实物计数”阶段，也就是用石子、树枝、泥丸、结绳、兽骨刻痕等器物（或办法）来帮助计数。有时候，为了不丢失这些计数工具，就把果核等串在小棒或细绳上，这怕是最原始的计数器了。也有时候，凑巧没有这些实物计数工具，人们还学会了利用自己的手指来计数。手指计数的障碍在于“手仅十指”，所以人类最初借用其他人的手指一起来计数，比如用“3人4指”来表示用完了3个人的手指还多4个手指。渐渐地，人们意识到当用完了自己的全部手指后，可以在旁摆一块石子或一根树枝，这样就能“解放”自己的手指继续开始计数了！这便是十进制计数法的雏形。
当然，历史上还曾经出现其他进制的计数法，但人类最终广泛使用了十进制计数法，因为绝大多数人生来有10个手指。“手指计数”促成了进位制计数方法的出现，进而进一步促成了数的表达和记录符号的出现，数字符号的出现标志着数概念的形成。
从“基本数觉→数数阶段→实物计数→手指计数→生成计数符号”，每一次的进步都无比艰辛。相对于数概念的起源来说，古人对形的认识要更为直接具体，因为大自然始终把它的种种模样展现在他们面前。但这不等于人类能自动化地从大自然那里获得各种几何图形的认识，促使人类脱离具体实物体会各种形状、形状间的不同大小、彼此间的关系等，还是制作劳动工具、编织、建屋、图腾崇拜等实践活动。这些活动提供了不断相互比较的机会，让人们最终找出了不同物体外在形状方面的共同之处，从而形成了几何图形。
人类的历史约有680万年，在前500万年，人类基本上还只有单音节语言，近200万年以来，产生了多音节语言，而现在我们普遍使用的阿拉伯数字，实际上源自印度，这个历史仅有千余年。数学的起源与进步，不是轻松的过程，即便是最简单的数学知识，也是人类思维抽象概括的结果。我们的教科书同样非常鲜明地表达了这个过程，即便是要认识数“1”，也必须从情境中的实物出发，剥离各种无关紧要的东西，只保留它量方面的特性，以一粒算珠（在量的特征上，它和1个小朋友拉手风琴是等价的，但更为抽象）为桥梁，逐步抽象成符号“1”。正因为是抽象来的，所以便具有了广泛的代表性，具有模型的意义，“1还能代表什么”的追问正是这个意思的体现。
数字、基本几何图形是数学里不能再简单的知识，即便是这样，它们的形成也离不开抽象概括的思维活动。数学越往后发展，数学来自于人心智的本性就越发突出。欧几里得的《几何原本》是成熟最早的分支，是影响最为深远的学说，它所体现的公理思想，已经和任何自然现象没有了关系，如果非要找缘由的话，那就是来自于古希腊圣贤们心智中的逻辑思想。很多时候，一个数学教师对自己的使命常常摇摆和迷失，那么现在很显然，既然数学是人想出来的，那数学教育最重要的使命，便是千方百计地让学生去思考，通过思考学会思考。可思考是“苦”事，怎么让孩子们喜欢思考？
2002年8月，陈省身先生为中国青少年数学论坛题辞“数学好玩”，与此同时，他还曾论及“虽然数学的成果都是创新的，毕竟还有好的数学和不大好的数学之分”。最终证明费马大定理的数学家安德鲁·霍尔斯，10岁时已经着迷于数学。他回忆起第一次看到费马大定理时这么说：“看上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它，这里正摆着一个我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它”。安德鲁·霍尔斯的回忆为“好的数学”作了最好的注释，那就是简单而又丰富。简单，让起始的学习顺畅自然；丰富，让后续的学习别有洞天。数学能让一部分人终生追随，不是因为简单，恰恰是因为有点难。因为有点难，所以就有“辗转反侧、冥思苦想继而石破天惊、豁然开朗”的智力高峰体验，数学也就变得那么有魅力！不少人觉得数学难，所以不爱数学。实际上这是表面现象，问题的本质在于，对他们来说，面前的数学“难”得不合适。
“千方百计地让学生去思考”，数学史给出的技巧是呈现与学生认知水平相匹配的那些数学——能解决又不能随手可得、有信心又需要再作努力的那些数学，而从此爱上思考的技巧是让孩子不断地克服“小难”，不断积淀思考成功的快乐。这样，即便遇到了“大难”，学生也绝不会感到数学不好玩，恰恰会勾起其克服“大难”的斗志。而越是“大难”，克服后获得的情感体验越酣畅淋漓、越震撼心灵。对，让你的学生在追随你的日子里享受那怕一次的智力高峰体验！若能如此，你的教学就有境界了。
四、数学史是思考的视角，让人保持对热点纷争的应有定力
回顾历史，数学完全是由伟大数学家的伟大创造缔造的。无论那本数学史著作，如果要列举若干位世上最伟大的数学家及其成果的话，里面肯定有古希腊欧几里得和他的《几何原本》。通览《几何原本》，通篇都是前人业已发现提出的各种数学结论。欧几里得的伟大，只是重新组织使得它们不再零散。他首先把人们公认的事实列为公理或定义，然后用演绎推理的方式推导出其他所有的定理。就这样，他创造了一种从公理、定义出现，不断论证命题得到新定理的构造数学理论的方法，把数学从现实、经验的领域里提升为脱离实际充满演绎与证明的纯粹数学。自此以后，欧几里得的《几何原本》一直是数学家工作的楷模和典范（而实际上，它的影响远远不止数学家）。
到了17-19世纪，历史重复着这样的片段，只不过公理化对人类的心智提出了更大的挑战。先是牛顿和莱布尼茨创造了微积分，许多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌，不过无限小概念的随意与混乱遭致了不少质疑与批评。而实际上，先前的数学家们是从现实生活中抽象出概念，而更多数学家们则是在自己的心智中创造出概念。由于这些概念及方法还很能解决实际问题，因而，这种创造变得越来越自由自在和毫无忌惮，越来越多的从人思考中产生的观念进入了数学，以微积分为源头衍生出许多重要的数学方法，但那些数学在逻辑上都不能得到保证。数学充溢着直觉、归纳推理以及似是而非的证明，这样的状况让另一部分数学家从19世纪20年*开代**始掀起了数学公理化运动，直到19世纪70年代，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金建立了实数理论，解决了因微积分基础不牢而造成的三百多年争论——这就是数学史上的第二次数学危机。
抓住欧几里得及其《几何原本》、数学史的第二次数学危机加以分析，如果高度概括数学发展的话，数学史实际上只有两种历史片段：其一是数学结论的创造阶段，这里往往是伟大数学家的大胆猜测、直觉或类比推理起着更大的作用；其二是数学理论的构建阶段，把已经被创造出来的数学结论用演绎推理的方式赋予逻辑性。也就是说，尽管数学的最终表现形式是严格的演绎方式，但又只有依靠直觉、大胆的猜测，并通过多次的反复（猜测、反驳、再猜测、再反驳），我们才能发现并最终获得可靠的知识。用演绎推理的方式证明，虽然是数学的灵魂，但干这个活之前，总得明确要证明什么，所以从这个意义上爱因斯坦说：“解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”。
数学学习不仅要学习如何用演绎的方式去证明，也要有大量的机会去体会如何猜测、如何类比和归纳，这才是完整的数学学习生活！
一个对数学看得越透彻的老师，也就越能在数学教育的各种纷争中保持应有的定力。当下，数学课堂中“先学后教、以学论教”的实践如火如荼。这样做的理论基础是：学生是有学习能动的人，不是一张白纸，因而凭什么把所学知识给藏起来怕孩子先知道？难道只是为了确保教师在课堂里更像个权威？这一番理论很有说服力，让学生先学起来，把孩子从原先的学习被动状态中解放出来，也肯定没有错。
但需要慎思，数学教育既需要从教育的视角去思考如何进行，也需要从数学的角度去把握学科的特质。不说“先学后教、以学论教”异化成“先学后教、大量做题”带来的对数学教育目标的伤害，也不说先学时围绕着预习题、辨析题进行着对新知的解读式学习滤去了数学内在的思想精髓，就是神似的“先学后教、以学论教”，孩子们知道了数学结论后，课堂中所做的事便是运用所有的旧知去设法验证、说明该结论的成立！这样的课堂实践也以事实说明，放开了让孩子们先学，的确能激发他们的学习能动性和潜在智慧。但如果不管学习内容的特点，一刀切地使用“先学后教、以学论教”的模式，数学学习都是“确定性数学结论的验证”的话，那么往小处说，数学课程的功能被打了一半的折扣。往大处说，是对国家意志的违背。
2014年12月中央经济工作会议全文16处用了“创新”一词，我国可工作人口已经开始萎缩，拼资源消耗、拼环境牺牲的经济发展模式已经走到尽头，国家发展必须转型。因而，《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010-2020年）》指出，教育改革要实现“人口大国向人力资源强国”的转变，要“着力提高学生的学习能力、实践能力、创新能力”。所以说，不能滥用“先学后教、以学论教”，在学习战略性概念等内容时，把数学结论藏起来，是给予学生像个发现者那样独立探索的机会，是给予学生发现问题、大胆猜测、思考验证、收获成功的创新机会。
英国思想家弗兰西斯·培根说，不同的知识能塑造人不同的性格，读史使人智慧，读诗使人灵秀……一个读数学史的老师，也就有机会以宏大的视野超越各种旁枝末节，捕捉历史前进的主流路径与正确方向，因而也就在课改的各种纷争中保持着应有的理智。
尾声
1803-1805年，德国音乐家贝多芬创作出了时长33分钟的“第五交响曲”。不同境地的人从中听出了不同的内涵：苦难与抗争、希望与信心、欢乐与胜利……数学史比起“第五交响曲”，无疑更为弘大和更为丰富，一定能带给我们关于“数学”和“数学教育”无止境的智慧。