假设检验的基本思想是小概率反证法思想，小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次试验中基本上不会发生。

设X~N（ μ 1 ， σ 1^2）、Y~N（ μ 2 ， σ 2^2），且X和Y相互独立。根据实际问题需要，主要分为下列几种：

• 已知方差 σ 1^2, σ 2^2，假设检验 H0： μ 1 = μ 2 ；
• 未知方差 σ 1^2, σ 2^2，但已知 σ 1^2= σ 2^2，假设检验 H0： μ 1 = μ 2 ；
• 未知期望 μ 1 、 μ 2 ，假设检验 H0：σ 1^2 = σ 2^2；
• 未知期望 μ 1 、 μ 2 ，假设检验H0：σ 1^2 ≤ σ 2^2；

1、方差已知时两个正态总体均值假设检验

检验步骤：

• 提出假设：H0： μ 1 = μ 2 ；H1： μ 1 ≠ μ 2
• 由样本X1、X2、...、Xn1、Y1、Y2、...、Yn2，计算统计量Z：

• 计算p值，对比显著水平α做出判断

例 1 卷烟厂向化验室送去A、B两种*草烟**尼古丁含量（单位：mg）分别为：

A：24, 27, 26, 21, 24

B：27, 28, 23, 31, 26 根据经验知道两种*草烟**尼古丁含量 服从正态分布且相互独立 ，A种*草烟**的方差为5、B种*草烟**的方差为8。问在0.05显著水平下，两种*草烟**尼古丁含量是否有显著差异？

解：根据题意，随机变量X和Y分别表示A、B两种*草烟**的尼古丁含量，X~N（ μ 1 ， σ 1^2）、Y~N（ μ 2 ， σ 2^2），且X、Y相互独立。

• 提出假设：H0： μ 1 = μ 2 ；H1： μ 1 ≠ μ 2
• 计算正态分布统计量

n 1 = 5、 n 2 = 5、 σ 1^2= 5、 σ 2^2=8

Xmean=AVERAGE(24, 27, 26, 21, 24) = 24.4；

Ymean=AVERAGE(27, 28, 23, 31, 26) = 27；

Z = (Xmean-Ymean)/(5/5+8/5)^0.5 = -1.6125

注：Xmean和Ymean为随机变量X和Y样本平均数，正态分布统计量Z采用EXCEL算式

• 计算p值

由于原假设“H0： μ 1 = μ 2 ”为双边检验，

p = 2*(1-NORM.S.DIST(ABS(-1.6125),TRUE)) ≈ 0.107

注：Excel中的NORM.S.DIST函数用于计算标准正态分布的累积分布函数，也就是计算给定值的累积概率

• 检验

因为p ≈ 0.107 >α = 0.05， 接受原假设H0，拒绝备择假设 H1，即“有95%的把握确信两种*草烟**尼古丁含量没有显著差异” 。

2、方差未知时两个正态总体均值假设检验

当方差 σ 1^2, σ 2^2未知，但已知 σ 1^2 = σ 2^2时，检验步骤为：

• 提出假设：H0： μ 1 = μ 2 ；H1： μ 1 ≠ μ 2
• 由样本X1、X2、...、Xn1、Y1、Y2、...、Yn2，计算 t 统计量T：

式中，

• 计算p值，对比显著水平α做出判断

例 2 假设有A、B两种药，试验者欲比较它们在服用2小时后血液中的药含量的浓度（用适当的单位）对药品A，随机抽取了8个病人，他们服药2小时后，测得血液中药的浓度）为

1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76

对药品B，随机抽取了6个病人，他们服药2小时后，测得血液中药的浓度为

1.76, 1.41, 1.87, 1.67, 1.81, 1.73

假定这两组观测值服从具有公共方差的正态分布，试在显著性水平α=0.05下，检验病人血液中这两种药的浓度是否具有显著不同？

解: 两组观测数据满足正态分布，且有共同方差。

• 提出假设：H0： μ 1 = μ 2 ；H1： μ 1 ≠ μ 2
• 计算t分布统计量

n 1 = 8, n 2 = 6, σ 1^2 = σ 2^2

Xmean=AVERAGE(1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76) = 1.5125；

Ymean=AVERAGE(1.76,1.41,1.87,1.67,1.81,1.73) ≈ 1.7083；

S1^2=VAR.S(1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.6,1.76) ≈ 0.0258；

S2^2=VAR.S(1.76,1.41,1.87,1.67,1.81,1.73) ≈ 0.026；

Sw = ((7*0.0258+5*0.026)/12)^0.5 ≈ 0.16094

T = (1.5125-1.7083)/(0.0259*(1/8+1/6)^0.5) ≈ -2.25

• 计算p值

由于原假设“H0： μ 1 = μ 2 ；”为双边检验，

p =2*(1-T.DIST(ABS(-2.25),12,TRUE)) ≈ 0.044

注：Excel的T.DIST函数用于计算t分布的累积概率。这里统计量为负值时按绝对值代入公式

• 检验

因为p ≈ 0.044 < α = 0.05， 拒绝原假设H0，即“有95%的把握认为甲、乙区使用该商品的用户比重没有明显差别”。

3、两个总体方差比的假设检验

未知期望 μ 1 、 μ 2 ，假设检验 H0: σ 1^2 = σ 2^2；

• 提出假设：H0: σ 1^2 = σ 2^2; H1: σ 1^2 ≠ σ 2^2
• 由样本X1、X2、...、Xn1、Y1、Y2、...、Yn2，计算F统计量F:

式中，S1^2、S2^2为样本X1、X2、...、Xn1、Y1、Y2、...、Yn2 的样本方差。

例 3 甲、乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取12个和10个样品，测得它们的电阻值后，计算出样本方差分别为1.40、4.38。假设电阻值服从正态分布，在显著性水平α=0.10下，是否可以认为两厂生产的电阻阻值的方差相等？

• 假设：H0: σ 1^2 = σ 2^2; H1: σ 1^2 ≠ σ 2^2
• F统计量：F = 1.40/4.38 ≈ 0.32
• 计算p值：p=F.DIST(F,12-1,10-1,TRUE)=F.DIST(0.32,11,9,TRUE) ≈ 0.04
• 检验：“H0: = ”为双边检验，α=0.10，p = 0.04 < α/2 = 0.05,

拒绝原假设H0 ，有90%的把握认为两厂生产的电阻阻值的方差不相等。

注：EXCEL的F.DIST函数用于计算F分布的累积概率； α/2<p<1-α/2 接受原假设H 0 ，否则拒绝原假设H 0

本文涉及的计算公式通过EXCEL函数和算式表达式实现。NORM.S.DIST、T.DIST、F.DIST函数分别用于正态分布、t分布、F分布p值计算。VAR.S函数用于计算样本标准差和样本方差。