（本文简单，普通人都能看懂。）

为了便于大家对负进制数的研究，本文主要表述负进制数怎么来的。也就是说，说说我是怎样发现负数进制数的过程。

提起进制，我们常用的是10进制数，电子计算机使用的是2进制数，可以有任意大于1的正整数N进制数。就是N个1是10，N个10是100...那么，负进制的数，是多少个1是10啊？叫人难以理解，所以，人们认为没有负进制的数。可是，我在用除法竖式计算不同进制中1/7的过程中，就真的发现了负进制的数，此文，借助“*今条头日**”宝地，把我发现的负进制数的过程详细公布一下。

共余定理

若y/a在N进制及在N±kn进制中，竖式计算每位的余数{y}相同。均为：

y、y1、y2...yn..

发现过程：

10进制中，

1/7＝0.142857..

竖式：

1÷7的竖式。

每位的余数均为： 132645..

17进制中，

1/7＝〈17〉0.0.274(14)9(12)..

竖式：

17进制1÷7的竖式。

每位的余数为 132645..

3进制，

1/7＝〈3〉0.010212..

3进制1÷7的竖式。

每位的余数为 132645..

可见，凡是10±7n进制，1/7竖式计算各位余数均为132645..

余节定理

余节定理，是表述的是除法竖式计算中各位的余数和所化小数循环节的关系的定理。

若y/a在N进制中所化小数循环节X为：xx1x2...xn..

则b/a在N±ka进制中所化小数循环节为：

(b±ky)(b1±ky1)(b2±ky2)...(bn±kyn)..

在上文的讨论中，我们把1÷7竖式计算在不同进制数的共同余数写成0.132645..

可以得到，

〈17〉0.274(14)9(12)..

＝0.142857..+0.132645..

〈3〉0.010212..＝0.142857.. - 0.132645..

所以，不用竖式计算，根据1/7＝0.142857..和0.132645，可以求出任意10±7n进制中1/7的循环节。就是，

1/7＝〈10±7n〉0.142857..±0.132645..n

例1：求出24进制，1/7得数。

解：

∵24＝10+7×2，

0.142857..+0.132645..×2＝0.3(10)6(20)(13)(17)

∴1/7＝〈24〉0.3(10)6(20)(13)(17)..

负进制数

根据余节定理，利用1/7＝0.142857..和1/7的共节0.132645..可以求出下例结果。

例2：求出-4进制1/7的循环节。

解：

∵-4＝10-7×2，

0.142857.. - 2×0.132645..

-4进制1/7所化小数循环节。

∴1/7

-4进制，1/7所化小数。

当然也可以用除法竖式计算：

-2进制1÷7竖式。

就这样，我们得到负数进制数。

很明显，最大负进制是-2进制，由于负数是无穷无尽的，因此，没有最小的负数进制。

在正整数进制中，数字s比进制数j小。

即

s＜j

可是，在这里我们看到，负数进制的数字s大于或等于进制数j，值得注意的是，负数进制数字s的绝对值小于等于进制数j的绝对值。

即

s≥j.

｜s｜≤｜j｜

另外，-4进制中，

-4进制中等于1。

＝1.

至于负数进制数的运用，以及其他情况，有待进一步研究。

热心的朋友，可以竖式计算一下，1/7在其他负数进制中所化小数。

无论任何进制1/7所化小数循环节有什么不同，只是表示形式不同，它们都是相等的。

（由于本人水所限，又是初步发现，如果本文存在错误和缺点，敬请高人指出。

谢谢！）