女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
本文论述13-15世纪西班牙一些最著名、保存最完好的伊斯兰艺术设计的数学基础。包含这些精心设计的艺术品包括几何马赛克、装饰性陶瓷作品、象牙、木雕，以及金属制品。然后展示作品照片及其理想化的几何结构。借助计算机绘制的圆规和直尺结构，使用几何画板软件进行探索。对于每种设计，我们可以讨论晶体对称群，以及着色对此的影响。
介绍
伊斯兰艺术的一个特点是用几何设计密铺整个平面。这些设计的基本原则和结构可能是一个由相同的重复单元或图案组成的框架，它们有规律地重复出现，形成一个几何网格或平面的规则划分。为了创造重复单元，伊斯兰艺术家使用直尺和圆规来画圆，并在圆内画出各种形状和大小的多边形。他们可以构建等边三角形、正方形、五边形、六边形、八边形、星形多边形和其他形状。然后，这些多边形可以被进一步分割，形成各种看似永无止境的几何图案。
尽管设计之间的变化可能看起来是无限的，事实上，根据它们所允许的变换对称性，它们都可以被数学描述为只属于有限数量的可能类别。这些对称性包括围绕一个点(称为旋转中心)旋转一个给定的角度，沿着给定的方向平移一个给定的距离，沿着一条直线(称为镜像线)上的镜像反射，以及滑移反射——结合了平移一个给定的距离和平行于一条直线，然后是直线上的反射。要密铺一个平面，可能只有17种不同的对称群(称为晶体对称群)，包括旋转、平移、反射和滑移反射的各种组合。需要注意的是，晶体学限制只允许一重(恒等变换)、二重、三重、四重或六重旋转[1]。当考虑设计的颜色对称性时，二维对称群会有附加类别[2]。
这篇论文会举例说明一些来自13世纪到15世纪西班牙的伊斯兰工匠的艺术品。这些作品包括几何马赛克、装饰性陶瓷作品、象牙、木雕，以及金属作品。设计将分析其对称元素和分类，以确定每个主题的潜在几何结构。然后，这些设计将按照EI-Said和Parman[3]所描述的方式，使用Sketchpad软件[4]重新创建。图案的着色对某些设计的晶体学分类的影响也将被讨论。
两种设计，分类为p4m（在考虑交错时为p4）
第一种图案涉及八角星和十字形，这是一种非常受欢迎的图案，在从西班牙到中亚的整个伊斯兰世界都广泛存在。它被加入到剑柄的设计中。最后一位纳希德统治者，穆罕默德十二世，也被称为Boabdil。这把在1483年卢切纳战役中缴获的剑被收藏在马德里的埃杰西托博物馆[5](图1)。图2给出了这种设计的理想化再现，没有交错。
该设计(没有交错)看起来高度对称，至少允许围绕八角星的中心进行四重旋转。如果进一步观察，你可能会注意到两条镜像线可以通过十字轴的中心，另外两条镜像线也可以。与这些轴成45度角。因此，有了四个方向的镜像线，似乎可以从正方形的重复构造中获得基本的主题(图3)。
具体来说，要创造这个图案，可以先构建一个正方形，用线段（对角线）连接正方形的相对顶点（或角点），找到正方形的中心。然后，我们可以找到正方形每条边的中点。利用正方形的中心和其中一个中点，我们可以构建一个内切圆，并找到圆和对角线的交点（图4）。
接下来，通过画四条线段连接原正方形的中点，可以形成一个边与第一个正方形的边成45度角的小正方形。用线段连接圆的其余四个点（也就是圆和对角线的交点），形成第二个边与第一个正方形的边平行的小正方形（图5）。注意，这两个小正方形是全等的。擦去这两个正方形的一些线段，可以形成一个八角星形的多边形（图6）。 擦去其他线段和圆，正方形内的图案就完成了（图3），复制即可密铺整个平面。
为了形成一个看似无止境的没有重叠或间隙的二维设计，人们可以将这个图案平移(与正方形的任意边成直角)正方形的尺寸，或者将图案围绕正方形的角顶点旋转90度，或者将其反射到正方形的任意边上。平面密铺的多种不同方式是由于理想化图案的高度对称性，其晶体学组分类为p4m，因为它允许四重旋转和四个方向的镜面反射。考虑到剑柄上的实际图案，分类为p4，因为交错设计不允许镜面反射。
伊斯兰艺术中常见的第二种设计，由八边形和四角星组成，展示在下面一张14世纪纳希德时期的雪松木写字台上(图7)。这张桌子是马德里国家博物馆的收藏品，上面有镶嵌物和嵌有象牙的装饰[5]。这种八角形的设计也可以在一个上了釉和彩绘的阿尔罕布拉宫花瓶的手柄上看到，也是来自13世纪末的纳希德时期（图8），在巴勒莫的西西里地区画廊的收藏中发现[5]。图9给出了基本图案的理想化形式（没有八角形内的点缀或交错）。
与第一个理想化的设计一样，这种图案的晶体学分类是p4m，因为它也允许围绕八边形中心的四重旋转，并且在四个方向上具有镜面反射线。四条镜像线是通过正方形的相对顶点和正方形边的相对中点绘制的线。
基本重复单元(图10)可以通过重复上述步骤来创建，以获得图4中的设计。然后将对角线和圆的交点与正方形边的中点连接起来(图11)。因此，一个规则的八边形被画在圆内。擦除圆和所有线段，除了形成八边形的线段，得到图10中的图案。为了镶嵌平面，可以将这个图案平移(与正方形的任意边成直角)正方形的尺寸，或者将图案绕正方形的角顶点旋转90度，或者将其反射到正方形的任意边上。当考虑到阿尔罕布拉宫花瓶上的实际图案时，分类是p4，因为交错设计不允许镜面反射。
枫叶设计，分类为p4g(双色为p4'g'm)
第三种设计，被称为“枫叶”图案，可以在西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉宫的陶瓷壁画中看到（图12）。图13给出了该图案的理想化、计算机绘制的轮廓图。在没有任何着色的情况下，该设计被归类为p4g，因为它允许四重旋转对称性和不在相交于45度的镜面线上的镜面反射。
这个设计的构造也是像第一个设计那样，先在一个圆内画两个相互成45度角的正方形，然后在其中一个正方形内嵌套出第三个较小的正方形（图14）。保持图15中的黑体线条，抹去其他线条，枫叶图案就出现了（图16）。
为了形成平面的非彩色镶嵌(图13)，可以将图16中的重复单元反射到正方形的任意边，或将其绕正方形的任意顶点旋转180度。完美的双色设计(图17)。晶体对称群分类为p4’g’m(具有2重旋转对称性和两个方向的镜面反射)。
帽子设计，分类为p4g(双色为p4'g'm)
第四种设计被称为 "帽子 "设计，也出现在阿尔罕布拉宫的壁画中（图 18)。图19中给出了一个理想化的计算机绘制的未着色的图案渲染。
帽子的设计可以由一个正方形构成。找到边的中点，用线段连接起来，形成四个较小的正方形，每个正方形都以中心点为公共顶点。然后找到大正方形内部四条线段的中点，从这四点到最大正方形的四个顶点画线，如图20所示。擦掉几条线后，未着色的图案就会显现出来（图21）。图22给出了一个具有完美双色对称性的帽子图案的密铺。
为了形成平面镶嵌，可以将图案围绕正方形的任意顶点旋转180度，或者将其反射到正方形的任意边上。如果人们认为阿尔罕布拉壁画是由白色帽子和黑色帽子组成的双色壁画，那么图案的晶体学分类是p4 'g'm。
钥匙设计,分类为p4
第五种设计，被称为“钥匙”设计，是在阿尔罕布拉宫的壁画中发现的另一种设计(图23)。图24给出了一个理想化的计算机绘制的图案（没有八角星内部的点缀）。它的八角星设计表明，该图案也可由正方形构成（图25和26），其方式与前面的例子相似。该图案不允许有镜面反射，但它确实允许在星星的中心有一个四重的旋转中心。因此，理想化的设计属于p4对称。
用图27中的图案镶嵌平面，可以将图案平移(与正方形的任意边成直角)正方形的尺寸，或者将图案围绕原始正方形的角顶点旋转90度。
鸟类设计，分类为p6（双色为p6'）
最后，我们得到没有任何四重对称性的晶体对称群。三重或六重对称的设计在西班牙伊斯兰艺术中不太常见，因此我们只有足够的空间来讨论这样的设计。“鸟”的设计在安达卢西亚随处可见。图28给出的例子可以在阿尔罕布拉宫的壁画中找到。图29给出了一个理想化的设计框架。
正如人们所期望的那样，一个具有六重对称性的图案可能是以正六边形的结构为基础。要构建一个六边形，首先要画一条线段，选择任意点作为圆心，然后画一个圆。找到圆和线段的交点，然后用第一个圆的中心来确定半径，在圆的相对两侧再构建两个圆。这两个圆与第一个圆的交点，以及第一个圆与直线的两个交点，成为原圆内嵌的六边形的顶点（图30），连接六边形三条不相邻的边的中点，得到一个六芒星。为了构建一条S形曲线，最终形成鸟的三条边中的一条，再构建两个圆，这样对于每个圆来说，星的一个点将是中心，半径延伸到星的两个相邻的顶点之一（图31）。
重复这个步骤两次，得到另外两条S形曲线，然后擦去圆和六芒星的弧线（图32），得到图33的图案，圆和六芒星（图32）。
要用未着色的鸟图案镶嵌平面，可以通过从六边形对边的两个中点的距离将垂直于六边形任意边的图案平移，或者围绕六边形的一个角顶点旋转图案120度。由于该设计不允许镜面反射，如果没有着色，它被归类为p6，因此具有如图29所示的六重旋转对称。如图34所示，如果是双色，则归类为p6'。如果考虑到阿尔罕布拉宫壁画的颜色是由白色的鸟和深色的鸟组成，该设计也将被归类为p6'，因为白色和深色的鸟会交替颜色。
在阿尔罕布拉宫的一幅壁画中，鸟的设计得到了进一步的改进，在鸟身上发现了交替的六角星和规则的六角星。为了达到这个目的，我们可以改变图33的基本图案，增加图35中的线段，然后用图36中的图案对平面进行密铺。为了获得图38中提供的理想化的彩色渲染，由于它允许三重的旋转对称，所以被归类为p3，用图37中的图案进行镶嵌。
结论
安达卢西亚的非凡艺术设计可以根据图案允许的对称变换进行分析和分类。反过来，对称变换也帮助我们使用电子版本的圆规和直尺工具重建设计。当人们能够找到设计元素之间隐藏的结构和关系时，图案就变得更加耐人寻味了。
本文仅对安达卢西亚的6个伊斯兰设计进行了分类和构建。我们真诚地希望，读者将会受到启发，继续寻找伊斯兰西班牙艺术中许多精致图案背后的数学原理。
参考文献
[1] B. Grunbaum and G. C. Shepard. Tilings and Patterns. W. H. Freeman, 1987.
[2] D. K. Washburn and D. W. Crowe. Symmetries of Culture. University of Washington Press, 1988.
[3] I. EI-Said and A. Parman. Geometric Concepts in Islamic Art. Dale Seymour Publications, 1976.
[4] The Geometer's Sketchpad (version 4) software, distributed by Key Curriculum Press, 2001.
[5] J. D. Dodds, ed. Al-Andalus: The Art of Islamic Spain. HarryN. Abrams, 1992.
[6] B. Lynn Bodner. Constructing and Classifying Designs of al-Andalus
青山不改，绿水长流，在下告退。
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