我们都学习过三角函数，但很多朋友对角度制和弧度制的理解是存在误区的。以正弦函数y=sinx为例，这里的自变量x可以取角度(°)也可以取弧度(rad)，此时两者在本质上是没有区别的。
我们规定一个扇形的弧长L与半径R的比值为圆心角α°所对应的弧度θ(rad)。由于两个长度的比值必然为一个实数，所以弧度的本质就是一个实数。
当弧长和半径相等时，此时圆心角所对应的弧度为L：R=1(rad)。
一个圆的周长为2πR，此时圆心角为360°。
所以360°=2πR：R=2π(rad)
而我们熟知的圆周率π本质上就是一个半圆弧长与半径的比值，π弧度。
360°=2π(rad)
180°=π(rad)≈3.14(rad)
1°=(π/180)(rad)≈0.017(rad)
1(rad)=(180/π)°≈57.3°
例如sin30°=sin(π/6)=1/2
sin(π/6)≈sin(3.14/6)≈sin(0.52)
对于sinx，x可以取角度也可以取弧度，但是sinx的值只能代表一个实数，也就是弧度。这一点是很多朋友理解不够准确的地方，务必注意。
今天，我们来探讨一个很有趣的问题，证明sin(cosx)＜cos(sinx)。
要想证明这个结论，我们首先回顾正余弦函数的基本性质。
①取值范围：
sinx∈[-1,1]；cosx∈[-1,1]
②单调性：
sinx在[-π/2,π/2]上单调递增
③诱导公式：
cosx=sin(π/2-x)=sin(π/2+x)
④两角和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
根据以上性质，我们就可以得到一个很重要的结论。
cosx+sinx
=√2[(√2/2)cosx+(√2/2)sinx]
=√2[sin(π/4)cosx+cos(π/4)cosx]
=√2sin(π/4+x)
cosx-sinx
=√2[(√2/2)cosx-(√2/2)sinx]
=√2[sin(π/4)cosx-cos(π/4)cosx]
=√2sin(π/4-x)
辅助角公式
cosx+sinx=√2sin(π/4+x)
cosx-sinx=√2sin(π/4-x)
好了，现在我们可以来解决一开始提到的问题了。
求证：sin(cosx)＜cos(sinx)
证明：sinx∈[-1,1]
sinx在[-π/2,π/2]上单调递增
①sinx∈[0,1]
π/2-sinx
∈[π/2-1,π/2]⊆[-π/2,π/2]
cosx∈[-1,1]
注意到π/2≈3.14/2=1.57＞1
cosx∈[-1,1]⊆[-π/2,π/2]
cosx+sinx=√2sin(π/4+x)
sin(π/4+x)≤1
cosx+sinx=√2sin(π/4+x)
≤√2×1=√2
√2≈1.414＜π/2
cosx+sinx≤√2＜π/2
cosx＜π/2-sinx
我们得出了cosx与(π/2-sinx)的取值均在区间[-π/2,π/2]内
并且cosx＜π/2-sinx
根据sinx在[-π/2,π/2]上单调递增，可得
sin(cosx)＜sin(π/2-sinx)
=cos(sinx)
sin(cosx)＜cos(sinx)
②sinx∈[-1,0]
π/2+sinx
∈[π/2-1,π/2]⊆[-π/2,π/2]
cosx∈[-1,1]⊆[-π/2,π/2]
cosx-sinx=√2sin(π/4-x)≤√2＜π/2
cosx＜π/2+sinx
我们得出了cosx与(π/2+sinx)的取值均在区间[-π/2,π/2]内
并且cosx＜π/2+sinx
根据sinx在[-π/2,π/2]上单调递增，可得
sin(cosx)＜sin(π/2+sinx)
=cos(sinx)
sin(cosx)＜cos(sinx)，证毕！
最后，我们举几个例子用计算器验证一下
sin[cos(π/4)]=0.6496…
cos[sin(π/4)]=0.7602…
sin[cos(π/4)]＜cos[sin(π/4)]
sin(cos1)=0.5143…
cos(sin1)=0.6663.…
sin(cos1)＜cos(sin1)