二、技巧分析
（一）单项选择题
选择题知识覆盖面广、题量多，渗透了各种数学思想和方法，要求考生踏实、牢固、全面地掌握所学数学基础知识，充分考查了考生灵活应用基础知识解决数学问题的能力。一般地，选择题的解答要以“不择手段，多快好省”为宗旨，且数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中大多数题的解答可用特殊的方法快速选择，因此要在“巧”字上做文章，灵活、巧妙、快速地选择解法，尽量避免“小题大做”。选择题的答题技巧我们将在下面举例说明，供同学们学习参考。
1.直接法
直接法又称为直接对照法，就是直接从题设条件出发，利用已知条件相关概念性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论。这类题的基本策略是由因导果，直接求解。
例1.【2018·真题】若
，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意，
，
，
，故
。此题可直接利用已知条件，根据循环小数的意义，得出选择B选项。
例2.【2018·真题】已知集合
则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】根据集合的运算，
，故选A.
2.特例法
有些选择题用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。特例法就是利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，来判别选项真伪的方法。
例1.【2018·真题】已知等比数列
的前n项和为
，且
，则
（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】解法1：观察题干所给等式，因为该数列为等比数列，可猜测该等比数列的公比为2，再观察四个选项，我们将
代入可得，
，此时
，
满足条件，故选D。
解法2：因为
的前n项和为
，所以
，
，
，联立可得
，
，
，因为此数列为等比数列，则
，即
，解得
。故选D。
解法1采用的是特例法，相比解法2更加简单，计算方便。
3.数形结合法
图解法、图象法都是数形结合法的另一种叫法，他们是利用函数图象或数学结果的几何意义，将数学问题（如解方程、解不等式、求最值、求取范围等）与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单的计算，确定正确答案的方法。
例1.【2018·真题】各条棱长为2的三棱锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，因为棱长全部为2，所以D点在面ABC
上的投影点F一定在AE上，且为重心，所以
，依题意可知，
，
，故
. 故此三棱锥的体积
，故选C.
例2.【2018·真题】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、CD的中点，连接BE,BF，分别交AC于点G、H，记
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示，连接BD，由平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，则
，即O为△BCD的边BD的中点，又因为F点为CD的中点，所以H为△BCD的重心. 故
.
，
，故选D.
4.排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论；就是充分运用单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法。
例1.【2017·真题】下列命题正确的是（ ）
A.所有的偶数都是合数 B.最小的质数是1
C.一个数的因数一定比它的倍数小 D.两个不同质数的公因数只有1
【解析】2是偶数但不是合数，故A选项错误；1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，故B选项错误；一个数最大的因数为它本身，最小的倍数也是它本身，此时它的因数和倍数相等，故C选项错误，故选D。
例2.【2016·真题】下列命题正确的是（ ）
A. 若集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B={3}
B.函数
，定义域为
C.“直线
与
平行”的充要条件是“
”
D.方程
表示的曲线是双曲线
【解析】
，故A选项错误；函数
的定义域为
，故B选项错误；方程
表示椭圆，故D选项错误，故选C。
例3.【2015·真题】下面每个选项中的两种量，成反比关系的是（ ）
A.三角形的底一定，三角形的高与面积
B.长方形的周长一定，长方形的长与宽
C.圆的面积一定，圆的半径与圆周率
D.平行四边形的面积一定，平行四边形底与高
【解析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量的积一定，则它们的关系就叫作反比关系，A选项是正比关系，排除A；B选项长与宽的和为定值，不满足反比关系，排除B；C选项圆周率是一个不变的常量，也不满足题意，排除C，故选D。
（二）填空题
与选择题相比，填空题没有备选项，解答时既有不受诱误干扰的好处，又有缺乏提示的不足之处，在解答过程中应力求准确无误，解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。解题的基本策略是：运算要快，力戒小题大作；变形要稳，不可操之过急；答案要全，力避残缺不齐；解题要活，不要生搬硬套；审题要细，不能粗心大意。下面我们探讨几种常见的填空题的解法。
1.直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，这是解填空题的基本方法。
例1.【2018·真题】
的个位数是________。
【解析】
个位数分别为2、4、8、6，剩下的都是以4为周期循环，因为
，所以
次方的个位数为4。同理，
的个位数分别为3、9、7、1，剩下的都是以4为周期循环，所以
次方的个位数为9.由
，可知
的个位数是3。
例2.【2018·真题】如果正整数a，b，c满足
，则称这3个数为一组勾股数，从6,7,8,9,10中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为______。
【解析】从6，7，8，9，10中任选3个不同的数，共有
种情况，而这三个数构成一组勾股数的情况只有6，8，10这一种情况，故所求概率为
。
例3.【2016·真题】小明帮妈妈做家务：洗衣机洗衣服要用15分钟，拖地要用6分钟，擦家具要用10分钟，电水壶烧水8分钟，晾衣服4分钟，经过合理安排，做完这些家务至少需要的时间是_________。
【解析】洗衣机工作的同时可以烧水，同时可以拖地，之后擦家具，共用16分钟，最后晾衣服用4分钟，共20分钟。
例4.【2014·真题】有三个数
中，且
，则这三个数的积为_________。
【解析】三式相加可得
，则
，可得
，三个数的乘积为60。
2.数形结合法
由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案。
例1.已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
的值为__________。
【解析】如图所示，易知抛物线
与
有相同的对称轴
，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D。因此，
，则
，又
，所以
，
。故
。
例2.已知函数
若关于
的方程
有两个不同的实根，则实数
的取值范围是___________。
【解析】将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点，作出函数
的图象，如图所示，由图象可知，当
时，函数
与
的图象有两个不同的交点，所以所求实数
的取值范围是
。
3.特殊化法
特殊化法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行。当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊值、特殊位置、特殊图图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式。当题目的条件是从一般性的角度给出时，特殊化法尤其有效。
例1.已知等差数列
的公差
，
成等比数列，则
的值为______。
【解析】不妨设
，则
，
，
符合题意，故
。
4.等价转化法
等价转化法就是从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的和未知的问题通过等价转化化为简单的、熟悉的、具体的、容易的和已知的问题来解决。
例1.【2015·真题】函数
的图象与两坐标轴及直线
所围成的封闭图形的面积为__________。
【解析】此题可转化为积分进行求解，函数
的图象与两坐标轴及直线
所围成的封闭图形的面积为
。
例2.不等式
的解集为
，则
_________；
__________。
【解析】设
，则原不等式可转化为：
，所以
，且2与
是方程
的两根，由此可得，
，
。
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