历经无数求索，微积分终于步入了现代化，不再满足于静态的几何世界，而是痴迷于动态变化，从研究曲线之谜进展到研究运动和变化之谜，开启了探索宇宙的节律。

17世纪中叶，曲线之谜、运动之谜和变化之谜，在费马和笛卡尔的二维坐标平面上，发生了碰撞，把微积分推到了至关重要的十字路口。

方程与曲线、代数与几何、东方数学与西方数学都在这里相遇。集大成者牛顿在费马、笛卡尔、伽利略和开普勒的研究成果之上，将几何与物理结合起来，构建了一个伟大的综合体。

牛顿的思想火花点燃了启蒙运动之火，引发了西方的数学革命。

几个世纪以来，微积分已经从代数和几何学扩展到物理学、天文学、生物学、医学、工程学以及其他所有不断变化的领域。尤为重要的是，微积分将时间数学化了。

尽管我们的世界存在着种种不公、苦难和混乱，但微积分给了我们上帝视角的希望，世界本质上可能是公平合理的，因为它遵循的是数学定律。

而我们要做的就是通过科学的方法，找到这些定律，通过这些最本质的普遍规律去理解我们生活的世界，利用这些底层逻辑去改善我们的生态，推动历史进程朝着好的方向发展。

xy坐标平面

从曲线之谜与运动之谜、变化之谜发生碰撞的几个世纪以来，作为枢纽的xy平面变得越来越重要。直至今天，所有的定量领域都用它来绘制数据图表和揭示隐藏关系。

通过它可以直观地看出一个变量如何取决于另一个变量。这种关系可以用一元函数来建模，符号表示为 y=f(x) ， f 是一个描述因变量 y 如何随着自变量 x 变化的函数。

这类函数模拟了世界在最有序状态下的行为，一个原因产生一个可预测的结果，一剂药会激发一种可预测的反应。

伽利略知道这种有意简化现实的方法的力量，而且比费马和笛卡尔早了几十年。在实验中，他每次都小心翼翼地只改变其中一个条件，而让其他条件都保持不变。

比如，让一个球滚下斜坡，测量它在一定时间内滚动的距离，保持其他因素都不变，只改变球每次滚动的时间，这样一来，距离就是时间的函数，非常简单。

同样地，开普勒研究了行星绕太阳公转的时间，并将这个周期与行星到太阳的平均距离联系起来，一个变量比另一个变量，即周期比距离。

这就是取得进步的方法，也是人类阅读大自然这部伟大著作的方法。

常见的函数以及其作用

有些函数非常重要，以至于在科学计算器上拥有它们的专属按键，比如：

等。

当然，绝大多数时候都用不到这些，日常生活中，有数字和加减乘除百分比就足够了。但是对于技术行业的从业者来说，数字只是开始。

科学家、工程师、数量金融分析师和医学研究人员，需要弄清楚数字之间的关系，也要弄清楚一件事会如何精确影响另一件事情。因此，函数必不可少。

一般来说，事物的变化有三种方式，上升、下降和上下起伏，也可以说成是成长、衰退和波动。不同的函数适用于不同的情形，下面就几个常见函数类逐一说明。

• 幂函数

为了以渐进的方式量化增长，我们经常使用 这样的幂函数，在这类函数中变量x会自乘若干次。

最简单的是一次幂的线性函数，其因变量y与自变量x成正比，y随着x的增大而等比例增大。

而对于二次幂增长来说，随着x的增大，不止是因变量y在增大，增长幅度也在增大，也就是说越往后函数值增长越快。

增量

早在伽利略斜面实验中看到了这种奇怪的模式，当球从静止开始滚下斜坡时会越滚越快，在每个连续的时间增量内，球的移动距离增量为连续的奇数，从而自然地出现了平方函数。

相较于 这样比较温和增长的幂函数，诸如 之类的指数函数，则描述一种爆炸式增长，犹如滚雪球一样越滚越大。

指数函数 中的2和10被成为指数函数的底数，最常用的是底数是10，相比于其他数字，人们更偏爱10，也许跟人类恰好有10个手指头有关。

• 10的次方

在科学领域，有很多以10的次方来简化计算的情况，特别是在数很大或者很小的时候，用科学记数法来改写是一个好办法，同时这也是一个十分强大的压缩机，须谨慎使用。

10的整次方提供了很大的便利，于是人们便想着可否用同样的方法表示非整次方的数，比如90略小于100=10的2次方，那么90对应的以10为底的指数应该略小于2。

对数就是为了解决这个问题而被发明出来。计算器上输入90，然后按下log键，就会得到1.9542... 意思就是10的1.9542...次方为90。

有了对数，就能够将所有正数都写成10的次方的形式，这既可以让很多计算变得简单，也揭示了数与数之间的惊人联系。

同底数幂相乘底数不变指数相加，同等演变到对数里，则是两个数相乘取对数的结果，等于各自取对数然后相加。

因此，从某种意义上说，对数用加法问题取代了乘法问题，而这正是发明对数的原因。对数的概念早在17世纪早期就已经流行开来，对数这一工具堪称当时的超级计算机。

尽管底数10在它的全盛时期大展拳脚，但在现代微积分中很少用到。因为另一个更自然的底数被发现了，它便是 更精确来说应该是 。

当指数函数以 e 为底时， 的增长率就是 本身。由于这个不可思议的特性，可以简化所有计算。

因此，无论是导数、积分还是微分方程和其他微积分工具，以e为底数的指数函数总是最简洁、最优美的。

指数增长与指数衰减的机制

e的特别之处在于 的增长率就是 本身，因此，随着这个指数函数的图像不断飙升，它的斜率总会与它当前的高度相匹配，越高的地方就越陡峭。

e是独一无二的，而其他指数函数也遵循着类似的增长原则，增长率与函数的当前水平成正比，却同样能达到爆炸性的指数增长。

除了增长过程之外，衰减过程也可以用指数函数来描述。

指数式衰减是指某个事物以与当前水平成正比的速度减少或者消耗，比如在一个孤立的铀块中，不管一开始有多少个原子，总有半数原子会在相同的时间内发生放射性衰变。

指数函数与对数函数，都与微积分中处理时间变化的那一部分密切有关。

其实，早在人们研究双曲线y=1/x 下方的面积时，自然对数就出现了。自此，发明一种寻找曲线切线和斜率的更加系统性的方法，带领微积分果断步入现代化。