2022年上海市第25题（最后一题），此题是平行四边形背景的综合题。主要考查平行四边形的性质、菱形的判定、中位线定理、相似三角形的判定和性质、圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等，综合性强。

25．（14分）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．

（1）如果AE＝CE．

ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；

ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；

（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝ AE，求 的值．

思路分析：第（1）问ⅰ，连接AC交BD于点O，所以O是AC中点，由EA=EC得EO垂直平分AC，所以BA=BC，问题解决；ⅱ．连接OP，则OP∥AB且 ，此时△EOP与△EBA相似，设OE=x，则BE=2x，Rt△AOE和Rt△AOB共边OA，列方程求得，故BD；第（2）问，作图是关键，设CF与AB交于点G，由 AE=AF，BE=BF知AB是EF的垂直平分线，所以∠AGC=90°，又CG是△ABC的中线，所以CG垂直平分AB，设EG=a，则EC=2a，条件CE＝ AE，得AE＝ a，利用勾股定理可求AG=a，故AB=2a，BC= a，问题解决。

解题思路：