我在全面的文章中对一元二次方程的知识进行全面系统的梳理，在这里将对一元二次方程做一个专题性总结，将一元二次方程以及判别式、根与系数、几何图形之间的关联通过例题进行全面详细解析。
一.一元二次方程根的判别式的作用。
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例1.若k为实数，那么关于x的方程x²+（2k+1)+k-1=0的根的情况是什么？
解：b²-4ac=(2k+1)²-4×1×(k-1)
=4k²+5
∵4k²≥0
∴4k²+5＞0
∴b²-4ac＞0 方程有两个不相等的实数根。
解题技巧：根据b²-4ac与0的大小关系来判断一元二次方程根的情况。
例2.已知a、b、c是一个三角形的三边，且方程b(x²+1)²-2ax-c（x²-1）=0有两个相等的实数根，则这个三角形是什么类型的？
解：b(x²+1)²-2ax-c（x²-1）=0
整理 （b-c)x²-2ax+b+c=0
∵方程有两个相等的实数根，则b²-4ac=0
∴b²-4ac=(-2a)²-4(b-c)(b+c)=4a²-4(b²-c²)=4（a²-b²+c²）
∴4（a²-b²+c²）=0
∴a²-b²+c²=0
∴a²+c²=b² 这是一个以b为斜边的直角三角形。
二.一元二次方程根与系数的关系
例3.已知方程x²+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
分析：解这道题利用的知识点是：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，其中一个根是2，另一个根设为x.
解：设方程的另一个根为x。
∵ 2x=-6
∴ x=-3
∵2+(-3)=-k
∴ k=1
例4.已知a、b满足a² =2-2a b²=2-2b且a≠b,求b/a+a/b的值。
解：∵a² =2-2a
∴ a² +2a-2=0
∵ b²=2-2b
∴ b²+2b-2=0
∴a、b是方程x²+2x-2=0的两个不相等的实数根。
∴a+b=-2,ab=-2
a/b+b/a=(a²+b²)/ab=[(a+b)²-2ab]/ab=[(-2)-2(-2)]/(-2)=-4
三.一元二次方程与几何的综合应用
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例5.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b、c是关于x的方程x²+mx+2-（1/2）m=0的两个实数根，求△ABC的周长。
解：∵b、c是方程x²+mx+2-（1/2）m=0的两个实数根
∴b+c=-m,bc=2-(1/2)m
当a为一个腰时，则有b=a或c=a
∴方程必有一根为3，把x=3代入方程x²+mx+2-（1/2）m=0
3²+3m+2-(1/2)m=0
m=-22/5
∵b+c=-m=22/5＞0 两边之和大于0
bc=2-(1/2)m=21/5＞0
∴ m=-22/5符合题意
∴a+b+c=3+22/5=37/5
当a为一底边长时，则b=c
∴原方程有两个相等的实数根。
b²-4ac=m²-4(2-m/2)×1=m²+2m-8
∴m²+2m-8=0
(m+4)(m-2)=0
∵m+4=0
∴m=-4
∵m-2=0
∴m=2
∵b+c=-m＞0
∴m＜0
∴m=2不合题意舍去
当m=-4时，b+c=4＞a,bc=2-(1/2)m2-(1/2)(-4)=4＞0
∴m=-4符合题意
∴a+b+c=3+4=7
综上，△ABC的周长为37/5或7.
一元二次方程的知识点全部梳理完毕，考生们应该全面掌握知识点后，挑选本地历年中考真题来做，训练解题思路、解题速度、解题步骤，力争在短时间内快速提高自己的实力，为决胜中考打牢基础。