从上面我们以可看出来，任何一个有理数都可以表示成一个由两个整数相除的分数。这也正是毕达哥拉斯在他的学派中宣扬“万物皆数”的理念。
毕达哥拉斯有个学生叫希帕索斯，他发现一个秘密：
一个边长为1的正方形，它的对角线是一个很奇怪的数，这个数是一个介于1.4—1.5之间的小数，有无穷多位，但是这个数居然没有循环节，进一步他发现，等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约，也就是说直角边和斜边的比值它居然不能用一个分数来表示，这让希帕索斯内心十分惶恐，直角三角形那可是老师毕达哥拉斯成名杀手锏（毕达哥拉斯定理），在老师领域中，出现了一个无法用分数表达的数。
希帕索斯把所有时间都用来验算和寻证，想找出一个能用两个整数比来表达这个奇怪的数，结果更是让人沮丧，他反而通过反证法两数不可通约性的证明：
设Rt△ABC，两直角边为a=b，c为斜边，a、c互质；
由毕达哥拉斯定理可以得出c2=2a2；
这里可以看出c一定是个偶数，那么a就一定是个奇数；
再设c=2m， 则(2m) 2=2a2 ，
那么a2=2m2，那么a也必须是一个偶数！
这和前面的假设刚好矛盾。
由此得出，这个数是“不讲理”的。
在纠结很久以后，他终于没有忍住，告诉了他的老师这个事实。几天后，双眼无神的毕达哥拉斯也在沮丧中失败了，无论用什么方法，这个奇怪的数都指向一个难以置信的事实，这个数他真的就是“蛮不讲理”。它已经严重冲击了当时学派甚至整个希腊的信仰“万物皆数”，“万物皆整数”的思想和世界观。
毕达哥拉斯始终也无法解决这个问题，只好下令*锁封**这个消息，严禁传播、研究。但是始终阻挡不了人们追求真理的脚步，希帕索斯和他的小伙伴们还是在私下研究这个奇怪的数，以及它所代表的数学意义，甚至它的属性。终于还是东窗事发，希帕索斯最终还是被人告密。业已封神的毕达哥拉斯，愤怒之下，将希帕索斯*绑捆**了四肢丢进了大海。
当然，事情并没有这样结束，希帕索斯的死伴随着他的那个“奇怪的数”被越来越多人知道，并开展研究，并在其后的2000年里一直困惑着人们，这就是第一次数学危机。
公元前370年左右，柏拉图的学生攸多克萨斯通过公理化方法创立了新的比例理论，才算解决了这一难题。他的方法，也被欧几里德收录进他的旷世巨著《几何原本》。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为才给这种没有什么规则的数称为“无理的数”，从此才有了“无理数”这一概念。
1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。也正因此，数的范围也从有理数变成了实数，实数包含了有理数和无理数。
后来人们经过演算，还发现，有理数有无穷多个，无理数也有无穷多个，但是无理数的无穷多个，要比有理数的无穷多个还要多得多、多得多、多得多
故事是讲完了，但有一个问题一直萦绕在我脑海里，古希腊的数学其实可以说源自古巴比伦、古印度，古埃及，甚至更早的美索布达米亚，还有中国周朝初年的商高提出勾股定理也要比毕达哥拉斯早了近500年。为什么这些灿烂的古文明在研究数学时，没有发现无理数呢？
究其根源，其他文明古国对数学的研究，主要还是集中在“算”和“用”上。而只有在古希腊，那些先贤把对数学的研究，让数学则走上完全不同的道路，最终形成了欧几里得的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这也是现代科学为什么是从古希腊那一支发展而来，而不是从其它文明古国。
幸好欧洲文艺复兴还能把古希腊那一套捡起来，继续走下去，而不是淹没在历史中，否则很可能就不会出现工业革命，和现代我们司空见惯科技产物了。
在这里向希帕索斯致敬，向古希腊先贤致敬，向文艺复兴以及启蒙运动致敬，向科学致敬！
