在最近的教研活动中，人教版数学教材五年级下册第71页中的一道判断题，引起了学校数学老师的争议。题是这样的：两个数的积一定是这两个数的公倍数。判断说法对吗？
究竟说法是否正确？一部分老师认为，本题旨在考查公倍数的意义及意义的取值范围，应限定为两个非零自然数的积。例如0.4和0.8，0.8除以0.4等于2，但0.8就不是0.4和2的倍数。所以，两个数的乘积一定是这两个数的公倍数说法是错误的；而另一部分老师认为，教材在第二单元学习因数与倍数伊始，就已经明确规定：为了方便，在研究因数和倍数的时候，所说的数指的是自然数（一般不包括0）。可见，在研究因数与倍数时，所说的数本身就指的是非零自然数，不必再次规定强调，故说法是正确的。而《教师教学用书》中也明确指出：因为甲乙两数的积除以甲数等于乙数，除以乙数等于甲数，所以两数的积一定是两数的倍数。双方各执一词，争执不下。
本文作者：陕西省教学能手，安康市旬阳县城关小学副校长罗龙飞
从上述讨论可以得知，问题的焦点就集中在是否明确规定这两个数为非零自然数上。究竟是否该再次强调呢？我认为，可以从以下两个维度思考。
一是正确认识概念教学的阶段性与连续性的关系问题。《教师教学用书》在第二单元的教材说明和教学建议中提到，由于学生还没有学习负整数，因此本单元的整数与自然数同义。但是考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论。例如，讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义。再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。因此为了避免不必要的麻烦，教材指出本单元所说的数指的是自然数（一般不包括0）。有了这一规定，教学时就不必处处强调“大于0”。在学习负数之前，学生说“整数”或“自然数”等都是可以的。可见，教材的编排，对于一些重要的数学概念、思想、方法是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的。这一规定的初衷是为了规避不必要的麻烦，同时也充分考虑到了概念教学的阶段性与连续性的关系问题。因此，教材中认为这一说法正确，体现出了明显的阶段性要求。也就是说这一说法在五年级现阶段的学习中是成立的。但随着学习的不断深入，这些概念也会逐渐拓展，在深度、广度等方面都会有实质性的变化。
二是准确把握概念教学的内涵与外延。数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，揭示知识的教学实质及其体现的数学思想。因数与倍数从本质上看，是与整除同一数学事实的两种不同说法。一般地，对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使a=nb+r（其中r<b），当r=0时，我们就说a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍数，b是a的因数。可见，因数与倍数概念具有明确的条件与依存性。教学时，必须使学生明确，概念的条件（前提），被除数、除数和商都是大于0的自然数。这一点必须是清晰准确的。同时还要引导学生从不同角度加以分析，从不同层次进行理解。事实上，教材也安排有这样的训练。如判断5.7是3的倍数是否正确。就是为了进一步让学生明确因数与倍数必须在非0自然数范围内讨论。所以，从这个角度看，规定两个数为非0自然数就显得非常有必要了。尽管，按教材编排的意图，研究因数与倍数时，所说的数指的就是非0自然数。但这种规定是有局限的，是建构在五年级这一特定群体圈内。一旦跳出圈外，这一说法是否还成立，就值得商榷了。
说到底，关于此题的两种不同答案，无非反映了两种认知状态：一种拘泥教材，另一种跳出教材。一种在圈内，一种在圈外。其实，想想，我们每个人何尝不是为自己也画了一个这样的圈子，自己出不来，别人进不去，以至于自怨自艾，郁郁寡欢。我想苏轼的诗句“不识庐山真面目，只缘身在此山中”说的就是这种状态吧。
因此，作为教师，我们既要用好教材，但也不能完全拘泥教材。既要学会走出圈子，跳出圈外，更要学会营造圈子，串联圈子，为教育人生增添一抹动人的风采。
相关阅读：
咸阳武功县实验小学代亚琼：从二年级数学“拉动长方形”说起丨i数学
商洛市小学刘静：人教版三年级《复式统计表》之拓展课教学设计丨i数学
编辑：关中小伙
