所谓复数，是实数域里加入了一个i，这样形成的一个数域。i是什么？i是方程
的一个解，那另一个解自然就是-i。当然，实数范围内这个方程是没有解的。这也让人们一开始并不愿意接收i这个东西，因为，承认这个方程无解比接收i作为它的解似乎更加自然。
那为什么要搞个记号i作为这个方程的解呢？自然是有它的好处的。下面说说如何利用它来简便的得到几个常用的三角公式。
前面说过函数的泰勒级数展开，比如对于自然指数函数，我们有
用ix 替换x， 再根据 cosx和sinx 的泰勒展开式，我们可以得到欧拉公式，即
利用欧拉公式与指数函数的性质，我们有
将等式右边展开，根据实部和虚部分别相等，我们得到两个常用的三角公式：
类似的，我们还可以进一步考察：
展开后比较复数的实部与虚部，我们得到两个更一般的三角公式：
这里，只要让y等于-x，即得到前面的两个三角公式。
可见，利用复数，我们可以简便的得到三角公式，而局限在实数范围内的对这些公式的证明就相对复杂。复数的使用还有很多好处，渐渐的，人们也感受到这些好处，也就接受了的复数这个“奇怪”的东西。