公元前20世纪，东方国家（主要是古巴比伦、埃及和中国）形成了有记载的数学，形成了数、量和图形的概念。那是为了计数猎物，估量和测量土地，直接由现实世界抽象出来的，同时开始了数的记法，记号的增删表示了数的加减运算；有规则地搭配记号，开始了记数制。
到了公元前500年，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即认为数与数学能表达世界，但那时只有正整数和正分数，由于发现了“勾股定理”，出现了无公度线段比，于是“数”不能表示了，引出了数字的第一次危机，这时，数学转向几何，数学的一切成果包括算术和代数都要得到几何事实的证实，开立方和几何级数等代数概念都有几何的烙印。数学的发展受数的概念的局限性影响，导致改变数学本身的发展方向，尽管有人给出了线段比表示无理数的思想，但这个比还未被接受为数。
到了公元前300年，欧几里得总结前人的数学成果，写出了《几何原本》，在使几何公理化的同时，给算术与代数的成果作了部分的逻辑化，出现了初等数论和方程理论等，这才使数学成为真正的理论科学。但数学几何化的倾向可能耽误了使数系这个最重要的数学结构得以发展的机会，公元600年，印度的阿拉伯人出于应用的需要，不顾及逻辑的严密性，勇敢地推进了数系和算术的发展。先是给0作为记数法中凡是能使用1、2、3、。。。，9的数码处的填充物，后与“没有”这个概念相一致，最后定义0与其它数a的运算，使零成为一个数；负数先与负债一致，再在解方程中出现，导致的结果又是有意义的，并认为对负数与无理数的运算也“像正整数那样”，但是，因为缺乏明确的定义，负数和无理数还要经过近千年才被接受。
公元16世纪时，欧洲人对出现负数和无理数感到很不安。因为负数比“没有”还要少，无理数用小数表示时是无限不循环的，无法确定。但是笛卡儿建立坐标系，要有“连续”的数，于是有条件地接受了无理数。由于微积分以及在此基础上大量有用数学分支的创立，对作为这些学科基础的实数理论的建立造成了巨大的压力，于是又酿成了数学的第二次危机。与此同时，在解方程中又出现了“虚数”，在困惑中，找到了复数的几何解释和实际应用。复数被接受为一实数对，引出了有理数为一整数对，整数为一正整数对的整套构造理论。无理数被看成为收敛的有理数列。在此代数结构思想的指导下，实数理论才真正建立起来。它给了我们这样三点启示:
一是数的概念产生于生产实际，又由于应用而发展。此外，数系概念拓广的动力还来自数学自身发展的矛盾运动，如解方程的需要，引出了新数，解析几何和微积分的创立，需要连续的数，但拓广的完成还有赖于代数理论。
二是数作为孤立的数学对象时，可以有原型或解释，这是一个方面，但更重要的是它们之间的关系，因为有运算，而具有代数结构；因为有大小关系或次序，而有序结构；还有拓朴结构。从结构上认识数才是完整地认识了数。事实上负数长期不能被接受，并不是因为它的原型没被发现和抽象，而是由于它们的运算(如负负得正)更难于被接受。虚数由解方程得到，在方程解出前它以未知数面目出现，像实数一样参加运算，它的几何解释以后才找到。数学的生命在于它的应用而不是在于它的解释或原型。
三是数学的逻辑化、严密化使数学得以成为真正的科学，但数学的创造和发展又大量靠了直觉，靠了应用的推动。