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上篇讲到，牛顿利用微积分，证明了天体椭圆轨道运行，是万有引力和距离平方成反比的必然结果。那么这和莱布尼茨，又有何瓜葛呢？
万有引力定律
1666年号称科学史上的奇迹年，牛顿正是在这几年中，得到众多成果，牛顿关于微积分的著作有三部，分别是1669完成的《分析术》，发表于1711年；1671年完成的《流数法》，发表于1736年；还有1693年完成的《求积术》，发表于1704年。
而和牛顿一水之隔的德国，另外一位大数学家莱布尼茨也在研究微积分，并得到了和牛顿同样重要的成果。
德国数学家莱布尼茨
1676年，莱布尼茨得知牛顿在研究无穷级数，便在另外一位科学家的引荐之下，和牛顿进行了两次通信，如今被称作"前函"和"后函"，这是目前研究牛顿和莱布尼茨之争的重要物品，信中，两人没有对微积分进行正面交流，两封信谈及的内容都是遮遮掩掩，随后两人中断了交流。
直到1684年，莱布尼茨在接下来的两年中，发表了两篇有关微积分的论文，正式提出微分和积分的思想，而且都是以第一人称发表，文中并未提及牛顿。这使得牛顿勃然大怒，因为牛顿觉得，莱布尼茨的发现，是自己在20年前，就得到的成果，并指责莱布尼茨盗窃了自己的成果，更何况莱布尼茨发布的这两篇关于微积分的论文，都十分粗糙，牛顿更加疑心重重他的成果被*取盗**。
积分运算
面对莱布尼茨的论文，此时的牛顿发还没有影响力，接下来的两年，在哈雷的督促下，牛顿在1686年发布了他的大作《原理》，此书对于科学界实在太重要了，其影响力超过他发明的微积分。《原理》一出，牛顿如日中天，到1703年他的宿敌胡克去世，牛顿接过胡克英国皇家学会会长的职位，开始了长达二十年对莱布尼茨的"讨伐"。
莱布尼茨也不乏支持者，其中就有欧洲著名数学家族——伯努利家族，约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667 -1748）首先向欧洲数学家提出挑战，就是著名的"最速降线"问题，该难题在1501年就被提出，其解就是个不定方程，所以一般解法行不通，伯努利还专门把问题寄一份给了牛顿，看牛顿能否解出来，可牛顿何许人也，岂容他人轻蔑！
大胆刁民
牛顿用了一晚上就给出了正解，但牛顿居然不作声张，他匿名发表了解法，当伯努利看了解法后，说道："从这锋利爪子，我看到了那头雄狮"。至此，伯努利被牛顿"打脸"！
之后，莱布尼茨在1711-1712年连续两次向学会秘书长提交了抗议递词，表达对牛顿的不满，这更激发了牛顿的怒火，甚至牛顿身边的人，也加入对莱布尼茨的"讨伐"中，甚至包括当时重量级的天文学家——哈雷（1656-1742）。
英国天文学家哈雷
接下来的几十年，牛顿利用自身权利收集各方证据，包括自己早些年的文稿，还有自己和莱布尼茨的两次通信，给自己首创微积分提供了坚实的物证，而且此时的牛顿，凭借《原理》已经成为欧洲科学界的霸主；而莱布尼茨一方，怎么可能和牛顿抗衡，就连声誉极高的伯努利，被牛顿打脸后，再也不敢正面对抗牛顿，牛顿以全胜姿态，结束了当时的争论。
1716年，莱布尼茨也在疾病中郁郁而终，这也造成了英国数学界和欧洲大陆数学界的分裂。
如果我们抛开两人之争，会发现莱布尼茨发明的微积分更具有推广性，因为莱布尼茨发明了一整套微积分的运算符号，这对微积分的推广至关重要，事实也证明了这点，因为我们现在使用的大部分微积分符号，都是莱布尼茨发明的。
积分和微分的符号
而牛顿发了的微积分，使用更加复杂的表示方法，推广起来非分不便，而牛顿-莱布尼茨之争后，英国数学和欧洲数学分裂，各自使用一套符号，在这样的情况下，英国数学界在牛顿之后跌入低谷，此后200多年没有大数学家出现，而欧洲大陆，相继出现欧拉，高斯，拉普拉斯，柯西，庞加莱等等，无数重要的数学家，这是和这场世纪之争分不开的。
其实我们现在看来，关于牛顿和莱布尼茨之争，现在的数学界，普遍认为两人都独立发明了微积分，论发表时间来说莱布尼茨是第一人，但历史已经过去，我们不必再去争论到底谁发明了微积分，应该吸取的，是这次世纪之争的历史教训。
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