一、认识有理数
人们最早认识的数当然是自然数，“1、2、3.....”，这些也是我们孩子我们自己小时候、我们父母小时候认识数字的启蒙知识。后来，人们在测量长度以及类似的生产活动过程中，发现只靠自然数往往不能解决实际问题。比如，人们规定了一个长度叫做“码”，并制作了一些一码长的“码尺”用来测量长度。但是，实际测量过程中，大量被测量的长度不会正好是整数的“码”那么长。为了测量更精确，人们就把码”再平均分成若干份，被测量的长度有时正好是这一小份长度的整数倍，从而得到更加精确的测量结果。于是人们认识到，被测量的长度要么是个整数，要么是一个整数除以另一个整数的商。当时的人们认为，永远可以找到一个合适的长度，能够整除任意两个长度。我们把可以被同一个数整除的两个数叫做“可公度”的，换句话说，当时的人们认为，任意两个数都是可公度的。这个认识用我们今天的话讲，就叫做“任何数都是有理数”。两千多年前的大数学家毕达哥拉斯及其学派是当时对“数”的认识的集大成者，他们认为“万物皆数”，并认为所有数都是有理数。毕达哥拉斯在一次出席奥林匹亚竞技运动会时，碰到了弗利尤斯Phlius)的里昂王子。王子问他如何描绘自己？毕达哥拉斯回答说自己是“哲学家”，并给出了“哲学家”的含义：“有些人因爱好财富而被左右另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他们设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。”这是我最喜欢的一段话之一，抄录在这里，与朋友们共勉。
二、认识到无理数
人们认识到无理数的故事是一个很悲伤的故事，可能不少朋友都知道的。毕达哥拉斯的一个学生西伯斯从毕达哥拉斯定理(勾股定理)出发，发现两个直角边长度都是1的直角三角形的斜边长度是无法和其它数公度的。当他把这个发现告诉毕达哥拉斯的时候毕达哥拉斯认为他触犯了神的意志，毕达哥拉斯坚信不会存在这样的“没有道理的数”，可是毕达哥拉斯又无法从逻辑上*翻推**西伯斯的结论。为了维护自己的尊严，毕达哥拉斯判处把这个学生西伯斯扔到大海里面淹死了。终身努力揭示自然的奥秘的毕达哥拉斯，居然如此盲目而迷信的扼杀了科学的真理，实在可悲可叹。
于是，√2不可能与1（或任何有理数）公度， /2必然是一个无理数。
从此，人们认识到了更加抽象一些的无理数，这是人们对数的认识的第一个巨大飞跃。人们把有理数和无理数统称为实数，并且实数可以直观的与数轴上的点——对应(按照其到原点的距离)。
三、从无理数扩展到代数数，从而认识到超越数