今天的目标是解2006年华杯赛真题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：
一根长木条的长度为L，用红色刻度线将它分为m等分，用黑色刻度线将它分为n等分，其中m>n。按刻度线将木条锯开，共得到170段长短不等的木条，其中最长的小木条恰好有100根。请问m和n是多少？
该题目属于均线等分问题，解题思路可化为以下三道题目：
题目一（简单）
一根长木条，用红色刻度线将它分为m等分，用黑色刻度线将它分为n等分，其中m>n。请问重合的刻度线共有多少条？
题目二（中等难度）
一根长木条的长度为L，用红色刻度线将它分为m等分，用黑色刻度线将它分为n等分，其中m>n。按刻度线将木条锯开，共得到若干段长短不等的木条。请问最长的小木条有多长？最长的小木条有多少块？
题目三（进阶思考,华杯赛真题）
一根长木条的长度为L，用红色刻度线将它分为m等分，用黑色刻度线将它分为n等分，其中m>n。按刻度线将木条锯开，共得到170段长短不等的木条，其中最长的小木条恰好有100根。请问m和n是多少？
以下为答案：
题目一：
答: d-1条，其中d是m和n的最大公约数。
只有在(Lk)/d长度处，红色线条和黑色线条才会重合，其中k=1,2,……,d-1。
显然，共有d-1条线重合。
题目二：
答: 最长的小木条长度为L/m，共m-n+d个小木条，其中d是m和n的最大公约数。
显然，小木条两端是红色刻度线时最长，为L/m。
那些不是L/m长度的小木条，是因为边上有一条黑色刻度线，而黑色刻度线共有n-1条。
又从题目一知道，黑色与红色刻度线重合的共有d-1条，
所以，共有n-d条单色的黑色刻度线。
因为小木条最长为L/m，而m>n，故不会出现两端都是黑色刻度线的情况。
这n-d条单色黑色刻度线说明有2(n-d)块小木条的长度不是L/m。
全部线条数是(m-1)+(n-1)-(d-1)=m+n-d-1;
全部小木条数是(m-1)+(n-1)-(d-1)+1=m+n-d。
所以，长度为L/m的小木条数为：m+n-d-2(n-d)=m-n+d。
题目三：
答:m=135,n=40。
从题目二知道，全部小木条数是m+n-d，最长的小木条数为m-n+d。
因此：m+n-d=170，m-n+d=100。
故，m=135,n-d=35。
因为d是m和n的最大公约数，
则：d是135的约数，也是35的约数。
而135和35的公约数只有1和5，
当d=1时，n=36,与d是m和n的最大公约数矛盾；
所以，d=5,n=40,m=135。