今天来带的是圆与四边形和圆与三角形的两道有关圆周角的几何例题，运用基本图形分析法详细的阐述思考过程与图形性质的运用。
例21 如图4-53，已知：P是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，以BP和DP为直径作圆，分别交AB、BC和CD、DA（或它们的延长线）于E、H和F、G。求证：EH∥GF
图4-53
分析：由条件BP、DP分别为两圆的直径，所以可应用半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明。现在对两个圆来说都是有直径，有半圆上的点而没有圆周角，所以应将圆周角添上，也就是联结PE、PH、PF和PG后，可得PE⊥AB、PF⊥CD（如图4-54），而我们已知AB∥CD，所以E、P、F共线。根据同样的道理还可得PH⊥BC、PG⊥AD，G、P、H共线。
图4-54
现在我们要证明的结论是EH∥GF，这是两条平行线的判定问题，而现在EH和GF这两条要证明平行的线段可以看作被GH所截，所以问题就只要证∠PHE=∠PGF。而∠PHE是⊙O的圆周角，可得∠PHE=∠PBE。根据同样的道理，又可得∠PGF=∠PDF，这样问题又要转化为要证∠PBE=∠PDF。由于这两个角是AB和CD这一组平行线被BD所截得到的一组内错角，所以这个性质就可以证明。
例22 如图4-55，已知：CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，角平分线AE交CD于F，过C、E、D三点作⊙O交AE交G。求证：AG=FG。
图4-55
分析：本题要证的结论是AG=FG，而条件中给出了CD⊥AB，这样就出现了G为Rt△AFD的斜边AF的中点，从而就可以应用直角三角形斜边上中线的基本图形的性质进行证明。由于图形中尚未出现斜边上的中线，所以联结DG，这样要证明AG=FG，就应证AG、FG都和DG相等，也就是应转而证AG=FG的等价性质∠GDF=∠GFD（如图4-56）。
图4-56
由于∠GDF是⊙O的一个圆周角，所以就可应用圆周角的基本图形的性质进行证明。于是由C、E、D、G四点共圆，可得∠GDF=∠GEC，所以问题成为应证∠AFD=∠AEC。而由条件A、F、E和B、E、C都成一直线，∠AFD和∠AEC可以分别看作是△AFC和△AEB的外角，所以有∠AFD=∠FCA+∠CAE，∠AEC=∠B+∠BAE，而条件中又给出∠BAE=∠VAE，所以问题又转化成要证∠B+∠FCA。但已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，所以应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质就可以证明上述性质，分析也就可以完成。