意大利数学家卡当（1501-1576，明朝弘治14年-万历4年）在解实系数一元三次方程时，引进了复数的概念。
在实数系统里， 是不存在的，但是，如果扩充数的概念，引入新系统，令 ，那么可以构造出现在称为复数的系统。令 ，我们称z为复数，x称为实部，y称为虚部。复数诞生后很长时间里，数学家都不太接受它，但又不能抛弃，毕竟通过对复数的运算，能够解决求解实系数一元三次方程。莱布尼茨（1646-1716，清朝顺治3年-康熙56年）说：“那个介于存在与不存在的两栖物，我们称之为虚数的（-1）的平方根。”直到高斯给出复数的几何意义（见下图），这样的疑虑才得以消除。
从这个图形可以看出 ,这是复数的三角形式，借助欧拉公式 , ，这是复数的指数形式。其中，r被称为辐长， 被称为辐角。
复数发明后，需要对它的运算做新的定义，其四则运算的法则见下例：
但是，上述的乘法和除法的运算比较麻烦些，如果用复数的指数形式，那就简单多了，令 ,则 ，转换成三角形式： , 。乘方和乘法本质是一样，无非更简洁而已，如 。复数的开方与实数开方不同，复数开几次方就能得到几个结果。根据复数的三角形式及三角函数的性质， ，其中k=0,1,2,3...，那么当对z开n次方时，得到的结果就是 ，去掉重复值，k取0,1,2...(n-1)。
利用复数的运算规则，可以很容易地证明实数领域里的一些定理，我们以三角函数的常见定理为例：
因此可以得出结论： , ，并由此推出：
利用牛顿二项式和复数乘方的计算方法，可以快速证明三角函数倍数公式，如：
当n=2时， ，所以，
当n=3时， ,所以，
从以上的例子可以看出，通过对复数的运算，确实可以方便地证明一些实数领域里的定理。