2020 年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
A．
．
B．
．
＝m ﹣ n
C
D
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） 下列各数中是无理数的是（ ）
A ．0 B ．
C ．
D ．
2 ．（2 分） 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
3 ．（2 分）“弘扬雷锋精神，共建幸福沈阳”， 幸福沈阳需要 830 万沈阳人共同缔造，将数据
830 万用科学记数法可以表示为（ ）万．
A ．83 ×10 B ．8.3×102
4 ．（2 分） 下列运算正确的是（ ）
A ．2m3+3m2＝5m5
C ．m•（m2）3＝m6
C ．8.3 ×103 D ．0.83 ×103
B ．m3÷（ ﹣ m ）2＝m
D ．（m+n ）（n ﹣ m ） 2 2
5 ．（2 分） 在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4 ， ﹣ 1），点A 与点 B 关于 x 轴对称，则
点A 的坐标是（ ）
A ．（4 ，1 ） B ．（ ﹣ 1 ，4 ） C ．（ ﹣ 4 ， ﹣ 1）
6 ．（2 分） 如果 m＝
﹣ 1 ，那么 m 的取值范围是（ ）
A ．0＜m＜1 B ．1＜m＜2 C ．2＜m＜3
D ．（ ﹣ 1 ， ﹣ 4）
D ．3＜m＜4
7．（2 分） 已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和A'D'是它们的对应中线，若 AD＝10，A'D'＝6，
则△ABC 与△A'B'C'的面积比是（ ）
A ．5：3 B ．25：9 C ．3：5 D ．9：25
8 ．（2 分） 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 第 1页（共 21页）
9 ．（2 分） 在平面直角坐标系中，一次函数y＝1 ﹣ x 的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10 ．（2 分） 正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 12 ，则
的长是（ ）
A ．
π B ．
π
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
C ．
π D ．2π
11 ．（3 分） 分解因式： 2x3 ﹣ 18x＝ ．
12 ．（3 分） 一个多边形的内角和是 720° ，这个多边形的边数是 ．
13 ．（3 分） 化简：
＝ ．
14 ．（3 分） 已知点 A 为双曲线y＝
（k≠0）上的点，点 O 为坐标原点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B ，连接 OA ．若△AOB 的面积为 4 ，则k 的值为 ．
15 ．（3 分） 如图，点 A ，B 在⊙O 上，直线 AC 是⊙O 的切线，OC⊥OB ，连接 AB 交 OC 于点 D ．若AC＝2，AO＝
，则 OD＝ ．
16 ．（3 分） 如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 上有一点 E ，且 BE＝3DE ，点 F 在 AB 的延
长线上，连接 EF，过点 E 作 EG⊥EF，交 BC 的延长线于点 G ，连接 GF 并延长，交 DB 第 2页（共 21页）
的延长线于点 P ，若 AB＝4 ，BF＝1 ，则线段 EP 的长是 ．
三、解答题（第 17 、18 小题各 6 分，第 19 小题 8 分，第 20 小题 10 分，第 21 小题 12 分，
共 42 分）
17 ．（6 分） 计算：
+（
﹣ 2）0 ﹣ （
） ﹣ 2+|sin60° ﹣ 1|
18．（6 分） 倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 A，B 两种型号的健身器材若干套， A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套 280 元，430 元，且每种型号健身器材必 须整套购买．若购买A ，B 两种型号的健身器材共 50 套，且支出不超过 16000 元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？
19 ．（8 分） 已知，如图，在▱ABCD 中，延长AB 到点 E，延长 CD 到点 F，使得 BE＝DF， 连接 EF，分别交 BC，AD 于点 M，N，连接 AM，CN．
（1）求证： △BEM≌△DFN；
（2）求证： 四边形AMCN 是平行四边形．
20 ．（10 分） 如图 1 ，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点 O，AB＝13 ，BD＝24，
在菱形ABCD 的外部以 AB 为边作
等边三角形ABE ．点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点 B 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到
线段AM，连接 FM．
（1）线段AO 的长为 ；
（2）如图 2 ，当点 F 在线段 BO 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证： AM ＝
AC；
（3）连接 EM．若△AFM 的周长为 3
，请直接写出△AEM 的面积．
21 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+bx+c 与y 轴交于点 A（0 ，2），
与 x 轴交于 B（ ﹣ 3 ，0）、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线的顶点为 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）用配方法求点 D 的坐标；
（3）点 P 是线段 OB 上的动点．
①过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE＝PC，求点 E 的坐标；
②在①的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F 到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出
线段 EF 的长；
③若点 Q 是射线 OA 上的动点，且始终满足 OQ＝OP，连接 AP，DQ，请直接写出AP+DQ 的最小值．
．
，
C
2020 年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） 下列各数中是无理数的是（ ）
A ． 0 B ．
D ．
【分析】 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概
念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环
小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】 解： 0 是整数，属于有理数；
是整数，属于有理数．
故选： C．
是分数，属于有理数；
是无理数；
【点评】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： π，2π等； 开
方开不尽的数； 以及像 0. 1010010001… ，等有这样规律的数．
2 ．（2 分） 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】 解： 从左面看易得上面一层中间有 1 个正方形，下面有 3 个正方形． 故选： C．
【点评】 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3 ．（2 分）“弘扬雷锋精神，共建幸福沈阳”， 幸福沈阳需要 830 万沈阳人共同缔造，将数据
830 万用科学记数法可以表示为（ ）万．
A ．83 ×10 B ．8.3×102 C ．8.3×103 D ．0.83×103
【分析】 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a ×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数， 据此判断即可．
【解答】 解： 830 万＝ 8.3×102 万．
故选： B．
【点评】 此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a ×10n ，其中 1≤|a| ＜10 ，确定 a 与 n 的值是解题的关键．
4 ．（2 分） 下列运算正确的是（ ）
A ．2m3+3m2＝5m5 B ．m3÷（ ﹣ m ）2＝m
C ．m•（m2）3＝m6 D ．（m+n ）（n ﹣ m ）＝m2 ﹣ n2
【分析】 分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘方法则与幂的
乘方运算法则，平方差公式逐一判断即可得出正确选项．
【解答】 解： A ．2m3 与 3m2 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B ．m3÷（ ﹣ m ）2＝m ，正确；
C．m•（m2）3＝m7 ，故本选项不合题意；
D ．（m+n ）（n ﹣ m ）＝n2 ﹣ m2 ，故本选项不合题意．
故选： B．
【点评】 本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，平方差公式以及幂的乘方与积
的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5 ．（2 分） 在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4 ， ﹣ 1），点A 与点 B 关于 x 轴对称，则
点A 的坐标是（ ）
A ．（4 ，1 ） B ．（ ﹣ 1 ，4 ） C ．（ ﹣ 4 ， ﹣ 1 ） D ．（ ﹣ 1 ， ﹣ 4）
【分析】 直接利用关于 x 轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解答】 解： ∵点 B 的坐标是（4 ， ﹣ 1），点A 与点 B 关于 x 轴对称，
∴点A 的坐标是：（4 ，1）．
故选： A．
【点评】 此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
6 ．（2 分） 如果 m＝
﹣ 1 ，那么 m 的取值范围是（ ）
A ．0＜m＜1 B ．1＜m＜2 C ．2＜m＜3 D ．3＜m＜4
【分析】 首先确定
的取值范围，然后可得
﹣ 1 的取值范围．
【解答】 解： ∵2＜
＜3，
∴1＜
﹣ 1＜2，
∵m＝
﹣ 1，
∴1＜m＜2，
故选： B．
【点评】 此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握估算无理数大小要用逼近法．
7．（2 分） 已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和A'D'是它们的对应中线，若 AD＝10，A'D'＝6，
则△ABC 与△A'B'C'的面积比是（ ）
A ．5：3 B ．25：9 C ．3：5 D ．9：25
【分析】 根据相似三角形的性质： 对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平 方求解即可．
【解答】 解： ∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝
6，
∴两三角形的相似比为： 5：3，
则△ABC 与△A'B'C'的面积比是： 25：9．
故选： B．
【点评】 本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形对应中线的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8 ．（2 分） 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形
【分析】 菱形，理由为： 利用三角形中位线定理得到 EF 与 HG 平行且相等，得到四边形 EFGH 为平行四边形，再由 EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
【解答】 解： 菱形，理由为：
如图所示， ∵E，F 分别为AB ，BC 的中点，
∴EF 为△ABC 的中位线，
∴EF∥AC，EF＝
AC，
同理 HG∥AC，HG＝
AC，
∴EF∥HG ，且 EF＝HG，
∴四边形 EFGH 为平行四边形，
∵EH＝
BD，AC＝BD，
∴EF＝EH，
则四边形 EFGH 为菱形，
故选： B．
【点评】 此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中
位线定理是解本题的关键．
9 ．（2 分） 在平面直角坐标系中，一次函数y＝1 ﹣ x 的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】 观察一次函数解析式，确定出k 与b 的符号，利用一次函数图象及性质判断即 可．
【解答】 解： 一次函数y＝ ﹣ x+1，
其中 k＝ ﹣ 1 ，b＝1，
，
其图象为： 故选： A．
【点评】 此题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解本题的关键．
10 ．（2 分） 正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 12 ，则
的长是（ ）
A ．
π B ．
π C ．
π D ．2π
【分析】 连接 OA ，OB ，根据等边三角形的性质可得⊙O 的半径和圆心角，利用弧长公 式求解即可．
【解答】 解： 连接 OB ，OA，
∵多边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△OBA 是等边三角形，
∴OB＝BA，
∵正六边形的周长是 12，
∴BC＝2，
∴⊙O 的半径是 2，
∴弧AB 的长为
＝
，
故选： B．
【点评】 本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11 ．（3 分） 分解因式： 2x3 ﹣ 18x＝ 2x （x+3）（x ﹣ 3） ．
【分析】 先提取公因式 2x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】 解： 原式＝2x （x2 ﹣ 9）
＝2x （x+3）（x ﹣ 3），
故答案为： 2x （x+3）（x ﹣ 3）．
【点评】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提 取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12 ．（3 分） 一个多边形的内角和是 720° ，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】 根据内角和定理 180°•（n ﹣ 2）即可求得．
【解答】 解： ∵多边形的内角和公式为（n ﹣ 2） •180°，
∴（n ﹣ 2） ×180°＝720°，
解得 n＝6，
∴这个多边形的边数是 6．
故答案为： 6．
【点评】 本题主要考查了多边形的内角和定理即 180°•（n ﹣ 2），难度适中．
13 ．（3 分） 化简：
＝
． 【分析】 根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】 解： 原式＝
•
＝
，
故答案为：
．
【点评】 本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题
．
型
14 ．（3 分） 已知点 A 为双曲线y＝
（k≠0）上的点，点 O 为坐标原点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B ，连接 OA ．若△AOB 的面积为 4 ，则k 的值为 ±8 ．
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征可以设点 A 的坐标为（x ，
）； 然后根据
|x| •|
三角形的面积公式知S△AOB＝
|＝4 ，据此可以求得k 的值．
【解答】 解： ∵点A 为双曲线y＝
图象上的点，
∴设点 A 的坐标为（x ，
）；
又∵△AOB 的面积为 4，
∴S△AOB＝
|x|•|
|＝4 ，即|k|＝8，
解得，k＝8 或 k＝ ﹣ 8；
故答案是： 8 或 ﹣ 8．
【点评】 本题考查了反比例函数系数k 的几何意义．过双曲线上的任意一点向 x 轴作垂
线，与坐标轴围成的三角形的面积就等于
|k| ．本知识点是中考的重要考点，同学们应
高度关注．
15 ．（3 分） 如图，点 A ，B 在⊙O 上，直线 AC 是⊙O 的切线，OC⊥OB ，连接 AB 交 OC
于点 D ．若AC＝2，AO＝
，则 OD＝ 1 ．
【分析】 由 AC 为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC 为直角，再由 OC⊥OB ，得到
∠BOC 为直角，由 OA＝OB ，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等
角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边可得 DC＝AC ，由 OC＝OD+DC ，表示 出 OC，在直角三角形 OAC 中，利用勾股定理即可求出 OD 的长．
【解答】 解： ∵OA＝OB，
∴∠OAB＝ ∠B，
∵直线 AC 为圆 O 的切线，
∴∠OAC＝ ∠OAB+∠DAC＝90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠ODB+∠B＝90°，
∵∠ODB＝ ∠CDA，
第 11页（共 21页）
∴∠CDA+∠B＝90°，
∴∠DAC＝ ∠CDA，
∴AC＝CD，
在 Rt△OAC 中，AC＝CD＝2，AO＝
，OC＝OD+DC＝OD+2，
根据勾股定理得： OC2＝AC2+AO2 ，即（ OD+2）2＝22+ （
）2，
解得： OD＝1．
故答案为： 1．
【点评】 此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质 是解本题的关键．
16 ．（3 分） 如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 上有一点 E ，且 BE＝3DE ，点 F 在 AB 的延
长线上，连接 EF，过点 E 作 EG⊥EF，交 BC 的延长线于点 G ，连接 GF 并延长，交 DB
的延长线于点 P ，若 AB＝4 ，BF＝1 ，则线段 EP 的长是
．
【分析】 注意到∠PBG 是 135 度，于是作 EN⊥AB 于 N，EM⊥BC 于 M，PH⊥CB 于 H， 先求出 BG 的长，再根据 HG：BG＝PH：BF 列出方程求出 BH 的长，从而得出 PB 的长，
最后由 PB+BE 得出 EP 的长．
【解答】 解： 如图，作 EN⊥AB 于 N，EM⊥BC 于 M，PH⊥CB 于 H．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD＝DC＝CB＝AB＝4 ，∠ABC＝ ∠BCD＝ ∠CDA＝ ∠DAB＝90° ，∠ABD＝ ∠CBD＝
∠ADB＝ ∠CDB＝45°，
∴EN＝EM＝BN＝BM，
∵BE＝3DE，
∴BN＝3AN，所以AN＝1 ，BN＝3，
∴EM＝EN＝BM＝BN＝3，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∵∠NEM＝90°，
∴∠NEF＝ ∠MEG，
在△NEF 和△MEG 中：
∴△NEF≌△MEG（ASA），
∴MG＝NF，EG＝EF，
∵BF＝1，
∴NF＝NB+BF＝4，
∴MG＝4，
∴BG＝BM+MG＝7，
∵∠PBF＝ ∠ABD＝45°，
∴∠PBG＝135°，
∴∠PBH＝45°，
∴∠HPB＝45°，
∴BH＝PH，PB＝
PH，
设 BH＝PH＝x ，则 PB＝
x ，GH＝BH+BG＝x+7，
因为
＝
，所以
，解得 x＝
，
所以 PB
，
又因为 BE＝
BN＝3
，
所以 EP＝EB+BP＝
．
【点评】 本题为正方形背景下的几何计算题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的 判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．构造全等三
角形和相似三角形求出 BG 和 BP 是解答本题的关键．
三、解答题（第 17 、18 小题各 6 分，第 19 小题 8 分，第 20 小题 10 分，第 21 小题 12 分，
共 42 分）
17 ．（6 分） 计算：
+（
﹣ 2）0 ﹣ （
） ﹣ 2+|sin60° ﹣ 1|
【分析】 本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值．针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】 解： 原式＝3+1 ﹣ 9+|
﹣ 1|，
＝ ﹣ 5+1 ﹣
，
＝ ﹣ 4 ﹣
．
【点评】 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题 目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、
绝对值等考点的运算．
18．（6 分） 倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 A，B 两种型号的健身器材若干套， A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套 280 元，430 元，且每种型号健身器材必 须整套购买．若购买A ，B 两种型号的健身器材共 50 套，且支出不超过 16000 元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？
【分析】 设购进 x 套 A 种型号健身器材，则购进（50 ﹣ x）套 B 种型号健身器材，根据总 价＝单价×数量结合支出不超过 16000 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取 其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】 解： 设购进 x 套A 种型号健身器材，则购进（50 ﹣ x ）套 B 种型号健身器材，
依题意，得： 280x+430（50 ﹣ x ） ≤16000，
解得： x ≥
．
又∵x 为正整数，
∴x 的最小值为 37．
答： A 种型号健身器材至少要购买 37 套．
【点评】 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一 次不等式是解题的关键．
19 ．（8 分） 已知，如图，在▱ABCD 中，延长AB 到点 E，延长 CD 到点 F，使得 BE＝DF， 第 14页（共 21页）
连接 EF，分别交 BC，AD 于点 M，N，连接 AM，CN．
（1）求证： △BEM≌△DFN；
（2）求证： 四边形AMCN 是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出∠BAD＝ ∠BCD，AB∥CD，根据平行线的性质 得出∠BAD＝ ∠ADF， ∠EBC＝ ∠BCD ， ∠E＝ ∠F，求出∠ADF＝ ∠EBC ，根据全等三
角形的判定得出即可；
（2）根据全等求出 DN＝BM，求出AN＝CM，根据平行四边形的判定得出即可． 【解答】 证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD＝ ∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAD＝ ∠ADF， ∠EBC＝ ∠BCD ， ∠E＝ ∠F，
∴∠ADF＝ ∠EBC，
在△DFN和△BEM 中
∴△DFN≌△BEM（ASA）；
（2）四边形 ANCM 是平行四边形，
理由是： ∵由（1）知△DFN≌△BEM，
∴DN＝BM，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，且 AD∥BC，
∴AD ﹣ DN＝BC ﹣ BM，
∴AN＝CM，AN∥CM，
∴四边形ANCM 是平行四边形．
【点评】 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性
质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20 ．（10 分） 如图 1 ，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点 O，AB＝13 ，BD＝24，
在菱形ABCD 的外部以 AB 为边作
等边三角形ABE ．点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点 B 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到
线段AM，连接 FM．
（1）线段AO 的长为 5 ；
（2）如图 2 ，当点 F 在线段 BO 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证： AM ＝
AC；
（3）连接 EM．若△AFM 的周长为 3
，请直接写出△AEM 的面积．
【分析】（1）先利用菱形的性质得出 OB＝13，AC⊥BD ，再用勾股定理求解即可得出结 论；
（2）先求出∠AFM＝60° ，再判断出△AOF≌△COF，得出∠AFO ＝60° ，即可得出结
论；
（3）①当点 F 在 OB 上时，先求出 AF，进而利用勾股定理求出 OF，再判断出△AEM ≌△ABF，求出 EM，再判断出△AEM∽△AOB ，求出 MN，最后用三角形的面积公式求
解即可得出结论；
②当点 F 在 OD 上时，同①的方法求出 MN，即可得出结论．
【解答】 解：（ 1） ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD ，OB＝
BD＝12，
在 Rt△AOB 中，AB＝13 ，根据勾股定理得，AO＝
＝
＝5，
故答案为 5；
（2）由旋转知，AM＝AF， ∠MAF＝60°，
∴△AMF 是等边三角形，
∴∠AFM＝60°，
，
∵点 M，F，C 三点在同一条直线上，
∴∠AFC＝180° ﹣ ∠AFM＝120°，
∵菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O，
∴OA＝OC＝
AC，
在△AOF 和△COF 中，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠AFO＝
∠AFC＝60°，
在 Rt△AOF 中，sin∠AFO＝
，
AF＝
＝
＝
OA＝
AC，
∴AM＝
AC；
（3）①当点 F 在线段 OB 上时，如图，由（2）知，△AMF 是等边三角形，
∵△AFM 的周长为 3
，
∴AF＝
，
在 Rt△AOF 中，根据勾股定理得，OF＝
∴BF＝OB ﹣ OF＝12 ﹣ 2＝10，
＝2，
连接 EM，
∵△ABE 是等边三角形，
∴AE＝AB＝13 ， ∠BAE＝60°，
由（1）知，AM＝AF， ∠FAM＝60°，
∴∠BAE＝ ∠EAM，
∴∠EAM＝ ∠BAF，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∴EM＝BF＝10 ， ∠AEM＝ ∠ABF，
过点 M 作 MN⊥AE 于 N，
∴∠MNE＝ ∠AOB＝90°，
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，
∴△MNE∽△AOB，
∴
，
∴
，
∴MN＝
，
∴S△AEM＝
AE•MN＝
×13×
＝25，
②当点 F 在 OD 上时，同①的方法得，MN＝
S△AEM＝
AE•MN＝
×13×
＝35，
即： △AEM 的面积为 25 或 35．
【点评】 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，判断出△AEM≌△ABF
是解本题的关键．
21 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+bx+c 与y 轴交于点 A（0 ，2）， 与 x 轴交于 B（ ﹣ 3 ，0）、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线的顶点为 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）用配方法求点 D 的坐标；
（3）点 P 是线段 OB 上的动点．
①过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE＝PC，求点 E 的坐标；
②在①的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F 到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出 线段 EF 的长；
，
③若点 Q 是射线 OA 上的动点，且始终满足 OQ＝OP，连接 AP，DQ，请直接写出AP+DQ 的最小值．
【分析】（1）用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）利用配方法可求顶点坐标；
（3）①点 E（m ，
m2 ﹣
m+2），则点 P（m ，0），由 PE＝PC，即可求解；
②连接AE 交对称轴于点 N，连接 DE，作 EH⊥DN 于 H，交y 轴于点 F，通过证明∠DEH ＝ ∠NEH，可得点 F 到AE ，DE 的距离相等，即可求解；
③在 x 轴正半轴取点 H，使 OH＝OA＝2 ，由“SAS”可证△AOP≌△HOQ ，可得 AP＝ QH，可得当点 Q 在 DH 上时，DQ+AP 有最小值，最小值为 DH 的长，即可求解．
【解答】 解：（ 1）∵抛物线y＝
x2+bx+c 与y 轴交于点 A（0，2），与 x 轴交于 B（ ﹣ 3，
0），
∴
∴
∴抛物线解析式为： y＝
x2 ﹣
x+2；
（2） ∵y＝
x2 ﹣
x+2＝ ﹣ ∴顶点 D 坐标（ ﹣ 1 ，
）；
（x+1）2+
（3）①∵抛物线y＝
x2 ﹣
x+2 与 x 轴交于 B （ ﹣ 3 ，0）、C 两点， ∴点 C（1 ，0）
设点 E（m ，
m2 ﹣
m+2），则点 P（m ，0），
∵PE＝PC，
，
∴
2 m ﹣
m+2＝1 ﹣ m，
∴m＝1（舍去），m＝ ﹣
∴点 E（ ﹣
，
）
②如图，连接AE 交对称轴于点 N，连接 DE ，作 EH⊥DN 于 H，交y 轴于点 F，
∵点 A （0 ，2），点 E（ ﹣
，
），
∴直线 AE 解析式为y＝ ﹣
x+2，
∴点 N 坐标（ ﹣ 1 ，
）
∴DH＝
＝
，HN＝
＝
，
∴DH＝NH，且 EH⊥DN，
∴∠DEH＝ ∠NEH，
∴点 F 到AE ，DE 的距离相等，
∴DN∥y 轴，EH⊥DN，
∴EH⊥y 轴，
∴EF＝
；
③在 x 轴正半轴取点 H，使 OH＝OA＝2，
∵OH＝OA ， ∠AOP＝ ∠QOH＝90° ，OP＝OQ，
∴△AOP≌△HOQ（SAS）
∴AP＝QH，
∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，
∴点 Q 在 DH 上时，DQ+AP 有最小值，最小值为 DH 的长，
∴AP+DQ 的最小值＝
＝ ．
【点评】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等 三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的难点．