学习数学常常会碰到一些“莫名其妙、奇奇怪怪”的问题，比如下面这道习题：
问题很开放哦，你并不知道是否存在这样的连续函数 f 。依靠直觉判断？很多时候，直觉是数学的敌人。
怎么破？先看看如果存在这样的函数，那么会有什么样的性质呢？即，假设有连续函数 f 满足题目要求。
我们构造下列集合
可知E是 f 的值域，E1和E2分别是无理数和有理数的子集（所以两个集合不相交）。而且，
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对于每一个y∈E1，都对应至少一个有理数x，使得f(x)=y。所以E1的势至多与有理数相同；
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E2是Q的子集，所以E2的势至多与有理数相同。
于是E是一个至多可数集。果真如此吗？
我们取x1∈Q，x2∈R\Q，记y1= f(x1)，y2= f(x2)。显然
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x1≠x2（一个有理数，一个无理数）
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y1≠y2（一个无理数，一个有理数）
但是，f 是一个连续函数啊，连续函数，连续函数！
身为一个连续函数，f 满足介值定理的：对于y1和y2之间的一切值y，都可以在x1和x2之间找到一个对应的x，使得f(x)=y。为了方便叙述，不妨令x1<x2，y1<y2。即有
所以E的势与实轴的势一样，这就尴尬了！矛盾！
所以，不存在这样的连续函数 f。