因动点而产生的直角三角形问题，是函数与几何综合的热点问题之一，经常出现在考卷的压轴题位置。不少学生听到函数二字，心理会抖上几抖，听到函数与几何综合几个字，可能直接就产生了放弃的念头。其实，这个问题，并不难。按着本文的思想，认真做一个题，两个题，认清此类问题的本质，问题可解。下面，我们一起来看看具体处理方法。
对这类解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
具体说一下，如何分类呢？一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程。其次有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。尤其关注的是解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角函数的问题联系在一起。如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。在具体问题往往要画出直角状况的示意图，怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．
解直角三角形存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的策略有：
（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．如图，若∠ACB＝90°，过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F，则△AEC∽△FCB ,从而得到线段的关系式解决问题．
（2）代数法：方法①：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．有时候几何法和代数法相结合，可能使得解题又快又好！
方法②直线解析式法：在平面直角坐标系中，两直线垂直，其斜率乘积为－1。利用这样结论可使得解题又快又好！
1．（2018•攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
【解答】如图所示：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠OAB＝90°，
∵∠DCA+∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAB，
又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴△CDA∽△AOB，
∴OB/DA=OA/DA=AB/AC＝tan30°，则x/(y-1)= √3/3，故y＝√3x+1（x＞0），
则选项C符合题意．故选：C．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键．
2.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，其中点E为CD的中点．有一动点P，从点A按A→B→C→E的顺序在矩形ABCD的边上移动，移动到点E停止，在此过程中以点A、P、E三点为顶点的直角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先由点P在AB的中点时，可组成直角三角形，再根据直径所对的圆周角是直角，可得有两个直角三角形，再令E为直角顶点有一个直角三角形．
【解答】如图，有四个直角三角形：①当P在AB的中点时，∠AP1E＝90°；②以AE为直径的圆与BC有两个交点，则∠AP2E＝∠AP3E＝90°；③过E作EP⊥AE，交BC于P，则∠AEP4＝90°；故选：C．
3．（2018秋•普宁市期末）如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8．点P、Q、R分别在AB、BC、CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，在运动过程中：
（1）当t为何值时，△APR的面积为4；
（2）求出△CRQ的最大面积；
（3）是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
∵∠REQ＝∠QFP＝90°，∴∠ERQ+∠EQR＝90°，
∵∠PQR＝90°，∴∠EQR+∠PQF＝90°，
∴∠ERQ＝∠PQF，∴△REQ∽△QFP．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是求出QD，QE，解（2）的关键是建立函数关系式．
4．（2019•郊区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交与点C，与抛物线y＝﹣x²+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【点评】本题主要考查二次函数、勾股定理的综合应用，解决第（2）②小题的题目种，构成直角三角形的问题时，若能求得三角形的长度，则可以利用勾股定理解决，同时此类问题中，要注意分类讨论思想的应用．
5．（2019•锡山区一模）已知抛物线y＝mx²﹣4mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于点E，连接AC、DC．已知△DEC与△AEC的面积比为3：4．
（1）求点E的坐标；
（2）求点B、C的坐标；
（3）△AEC能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数表达式；若不能，请说明理由．
【解析】（1）根据题意画出函数图象的大致形状，通过配方法求得抛物线对称轴为直线x＝2；发现△DEC与△AEC同以CE为底时，面积比即为高的比，取抛物线与x轴交点为F，即得到DO与AF的比；利用相似把高的比值转化为EO与AF的比，进而求得EO的长，E（﹣6，0）；
（2）根据DO：AF＝3：4，列得关于m和n的关系式，用m表示n再代入抛物线解析式，利用因式分解法即求得其与x轴的交点，B（﹣2，0），C（6，0），
（3）先确定只有∠EAC能为直角，所以有母子型相似，再根据对应边的比相等列得关于m的方程，进而求出m．
由题意可知，AE，AC不可能与x轴垂直，
∴若△AEC为直角三角形，则∠EAC＝∠EAF+∠CAF＝90°，
∵AF⊥EC，∴∠EFA＝∠AFC＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠CAF
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质．二次函数综合题中，灵活运用配方法和因式分解法可快速求得特殊点的坐标．
6．（2018秋•太仓市期末）如图1，抛物线y＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE＝1且∠DBE＝∠BMD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，在直线MD上是否存在点P，使得△PAC成为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接MC交x轴于点F，G为线段MD上一动点，以G为等腰三角形顶角顶点，GA为腰构造等腰△GAH，且H点落在线段MF上，若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则此时动点G的纵坐标yG的取值范围是______ ．（直接写出结果）
【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到解直角三角形、一次函数、不等式等知识，其中（3），若在线段MF上始终能找到两个这样的点H，则AG＞HG，是本题的难点．