能使方程左右两边相等的未知数的值就叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根，对于方程的解(无论何种方程)，其核心是"能使方程左右两边相等"，这句话在做题时应该理解为，如果x=a是方程的解，那么把x=a代入方程，左右两边相等。
这就是一元二次方程的定义应用的出发点．通过下面问题明，来说明如何利用这个“定义”解题，使我们解一元二次方程问题达到一个新境界．分类说明如下：
类型一、求方程的根
1. （2018山东菏泽）关于x的一元二次方程(k－1)x²+6x+k²－k=0的一个根是0，则k的值是 ．
解析：把x=0代入方程 (k－1)x²+6x+k²－k=0得k2－k=0，解得k1=0, k2=1，因为方程是一元二次方程，所以k－1≠0，即k≠1，所以k的值为0.
类型二、求参数的值
2．（2018秋•盱眙县校级月考）阅读下题的解答过程，请判断其是否有错，若有错误，请你写出正确的m值．
已知m是关于x的方程mx²﹣2x+m=0的一个根，求m的值．
解：把x=m代入原方程，化简得m²=m，两边同除以m，得m=1
把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意．
【解答】错误，由于关于x的方程不一定是一元二次方程，∴当m=0时，
此时，方程为﹣2x=0，∴x=0，符合题意，
当m≠0时，∴m3﹣2m+m=0，∴m（m²﹣1）=0，∴m²﹣1=0，∴m=±1，
综上所述，m=0或±1．
【方法点拨】本题考查一元二次方程的解，涉及二次项系数的讨论，当题目没有限制二次项系数时，要注意分类讨论．
类型三、求作新方程
3．求作一个一元二次方程，使得它的两根分别是方程x²-2x-1=0的两根的平方．
解：设所求作新方程的根为y，则y=x²，又x²-2x-1=0得x²=2x+1，即y=2x+1，
∴x=(y-1)/2，∴(y-1)/2是原方程的根，由根的定义得[(y-1)/2]²-2[(y-1)/2]-1=0，整理得：y²-6y+1=0，即为所求作的新方程．
类型四、求代数式的值
4．（2018•凉山州模拟）若a是方程x²﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a²﹣2013a+1=______．
【解答】∵a是方程x²﹣2x﹣2015=0的根，∴a²﹣2a﹣2015=0，
∴a²﹣2a=2015，a²=2015+2a，
∴a﹣3a²﹣2013a+1=a（a²﹣2013）﹣3a²+1=a（2a+2015﹣2013）﹣3a²+1，
=2a²+2a﹣3a²+1=﹣（a²﹣2a）+1=﹣2015+1，=﹣2014．
故答案是：﹣2014．
【方法点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意将所求的代数式变形是解题的难点．
类型五、比较大小
6．设t是一个一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则判别式△=b²-4ac
与平方式M=（2at+b）²的大小关系是（ ）
（A）△＞M（B）△=M（C）△＜M（D）不能确定．
解：∵t是一个一元二次方程的一个实数根，
∴at²+bt+c=0，∴M=4a²t²+4abt+b²=4a²t²+4abt+4ac-4ac+b²
=4a(at²+bt+c=0)-4ac+b²=b²-4ac=△，∴应选（B）．
类型六、解公共根问题
7.（2018秋•仁寿县期中）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x²﹣6x﹣k﹣1=0与x²﹣kx﹣7=0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：
解：设相同根为m，根据题意，得
①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6 ③
显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此时两个方程有一相同根x=1．
∴当k=﹣6时，有一相同根x=1；当k=6时，有两个相同根是﹣1和7
聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根．
【解答】设相同实根是a 则a²+ka﹣1=0，a²+a+k﹣2=0，
相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，
若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根-1/2+√5/2和-1/2-√5/2．
若k≠1，则a=(k-1)/(k-1) =1，即相同实根是x=1，
代入方程，得1²+k×1﹣1=0，k=0，
综上当k=0或k=1时，关于x的方程x²+kx﹣1=0与x²+x+k﹣2=0有相同的实根．
【方法点拨】本题考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．
类型七、证明等式
8．若x1,x2是方程ax²+bx+c（a≠0）的两根，
题型八、特殊根问题
9．（2018•微山县校级一模）一元二次方程ax²+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（ ）
A．﹣2 B．-1/2 C．﹣4 D．2
【解答】将x=﹣2代入ax²+bx+c=0的左边得：a×（﹣2）²+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax²+bx+c=0的根．故选A．
【方法点拨】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（2018•吉州区校级模拟）阅读下面提供的内容：
关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），如果a+b+c=0，那么它的两根分别为x1=1，x2=c/a．
证明：因为a+b+c=0，所以c=﹣a﹣b，将c=﹣a﹣b代入ax2+bx+c=0，得ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x²﹣1）+b（x﹣1）=0，所以（x﹣1）（ax+a+b）=0，所以x1=1，x2= (-a-b)/a=c/a．
（1）请利用上面推导的结论，快速求解下列方程：
①5x²﹣4x﹣1=0，x1=__，x2=____；
②.5x²+4x﹣9=0，x1=___，x2=____；
③x²-(√2-1)x-2+√2=0，x1=___ ，x2=___；
（2）请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根为1．
【解答】解：（1）①1，﹣1/5②1，﹣9/5③1，﹣2+√2；
（2）∵如果a+b+c=0，那么它的两根分别为x1=1，x2=c/a．
∴方程如：3x²﹣2x﹣1=0，6x²﹣7x+1=0；
【方法点拨】本题考查了一元二次方程的解的情况，读懂题意是解决本题的关键．
概念是解题的思维细胞，平时学习中应加强概念的理解，通过以上问题求解，不难体会到一元二次方程根的概念实质内涵，淡化形式，注重实质真的很重要。