2022年贵州省遵义市第23题（最后一题），此题是圆为背景的综合题，属于阅读理解的题型，主要考查圆的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等，难度适中。

23．（13分）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：　 　；依据2：　 　．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　．

拓展探究：

（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若AB＝ ，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

思路分析：第（1）和第（2）问，只要理解题意，不难解决；第（3）问①，点C关于AD的对称点E，可得AC=AE,DC=DE，所以∠ACD=∠AED=∠ABC，故A，D，B，E四点共圆；第（3）问②，由A，D，B，E四点共圆，得∠CBF=∠DAE=∠DAC，又∠ADC=∠BDF，所以∠ACB=∠F，故∠F=∠ABC，所以△ABD与△AFB相似，所以AD•AF= .

解题思路：