第四章 三角形
1. 关于三角形
定义 ：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形，三角形具有稳定性。
符号 ：三角形用符号“△”表示。
读法 ：顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”，
△ABC的三边有时也用a，b，c表示。
顶点A的对边a（BC）
顶点B的对边b（AC）
顶点C的对边c（AB）
分类 ：
2.
三角形的边
（1）三角形三边关系定理
定理 ：三角形任意两边之和大于第三边。
（2）三角形三边关系定理推论
定理 ：三角形任意两边之差小于第三边。
即a、b、c三条线段可组成三角形
两条较小的线段之和大于最大的线段。
应用 ：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形。
3. 三角形的角
（1）三角形的内角
定义 ：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（2）三角形的内角和
定义 ：三角形的每个顶点的内角相加，叫做三角形的内角和。
定理 ：三角形的三个内角和等于180° 。
定理推论 ：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（3）三角形的外角
定义 ：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
（4）三角形的外角和
定义 ：三角形的每个顶点处取一个外角再相加，叫做三角形的外角和。
定理 ：三角形的外角和等于360° 。
说明 ：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个领补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等，每个顶点处的两个外角是相等的。
4. 三角形的三条重要线段
（1）三角形的角平分线
定义 ：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质 ：三角形的三条角平分线交于一点。（交点称为内心）。
三角形的内心
定义 ：三角形三条角平分线的交点为三角形的内心。
内心是三角形的内切圆的圆心，简称内心。
性质 ：三角形的内心到三边的距离相等。
（2）三角形的中线
定义 ：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
性质 ：三角形的三条中线交于一点。（交点称为重心）
三角形的重心
定义 ：三角形三条中线的交点为三角形的重心。
性质 ：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（即重心分中线的比为1:2，重心也称为中心）
（3）三角形的高
定义 ：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质 ：三角形的三条高交于一点。（交点称为垂心）
锐角三角形的高均在三角形的内部，三条高的交点（垂心）也在三角形的内部。
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点（垂心）是三角形的直角顶点。
钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高的交点（垂心）也在三角形的外部。
三角形的垂心
定义 ：三角形三条高的交点称为三角形的垂心。
（4）拓展
三角形的外心
定义 ：三角形三条中垂线的交点称为三角形的外心。
外心是三角形的外接圆的圆心，简称外心。
性质 ：三角形的外心到到三角形三个顶点的距离相等。
三角形的旁心
定义 ：三角形一条内角平分线与其它二外角平分线的交点，称为旁心。
三角形的旁心共有三个，分别是三角形三边的外切圆的圆心。
总结 ：
1、三角形的五心：重心、垂心、内心、外心、旁心。
2、当且仅当三角形是正三角形时，重心、垂心、内心、外心四心合一。称为正三角形的中心。
5. 三角形的特殊线段
（1）三角形的中位线
定义 ：连接三角形两边中点的线段称为中位线。
定理 ：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。
三角形中位线隐含的重要性质：
①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一。
（2）直角三角形的斜边中线
定理 ：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展 ：
6. 图形全等
（1）全等图形
定义 ：能够完全重合的两个图形称为全等图形。
性质 ：全等图形的形状和大小相等。
（2）全等三角形
定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
性质 ：
①全等三角形的对应边相等。
②全等三角形的对应角相等。
③全等三角形的周长相等，面积相等。
(完全重合时，互相重合的点为对应点；互相重合的角为对应角；互相重合的边为对应边。）
（3）全等三角形的判定
判定 ：
