作者：

■宋小林

摘要:等差数列是高中数学的重要知识点，对等差数列的考查过程是一种对创新思维能力的考查.本文通过对等差数列的知识掌握程度和创新思维能力进行分析,提出相关题型快速解答策略.

关键词:等差数列;创新思维;求和公式

作者简介:宋小林(1981-),男,江苏省新沂人,本科,中小学一级教师,主要从事高中数学教学研究。

一、等差数列题型基础解法

1.利用等差数列概念解题

例1 已知数列｛aₙ｝是首项为a₁=1，公差值为d=3的等差数列，如果aₙ=2005,则n为( ).

思路分析:直接利用等差数列的通项公式进行求解.

解析:将已知条件代入通项公式aₙ =a₁+(n-

1)d中,可以得出:

2005=1+3(n-1)⇒n=699

2.利用等差数列性质解题

例2 在等差数列{aₙ}中，

(1)若S₁₀=30，S₂₀=80，求S₃₀

(2)若a₁+a₂+…+a₉=7，a₅₅+a₅₆ +…+a₆₃=25，求a₉₁+a₉₂+…+a₉₉.

解析:(1)由等差数列的求和公式可知:

图1

同理可以得出:

图2

=20a₁+190d=80

由此可以得出: a₁=2.1，d=0.2

等差数列前30项之和可表示为:

图3

=30a₁+435d=150

(2)由等差数列的求和公式可知:

图4

同理可以得出:

S₆₃-S₅₄=(63a₁+1953d)-(54a₁+1431d)

=25⇒9a₁+ 522d = 25

由此可以求得:

图5

则: a₉₁+a₉₂+…+a₉₉=S₉₉-S₉₀

=(99a₁+4851d)-(90a₁+4005d)

=9a₁+ 846d

由此可以求得:a₉₁+a₉₂+…+a₉₉=37.

二、等差数列题型巧解法

1.构造法

例3 设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，Sₘ₋₁=-2，Sₘ=0，Sₘ₊₁=3，则m=( )

(A)3 (B)4

(C)5 (D)6

解析:由等差数列的求和公式可知:

图6

可以得出:

图7

对以上等式分析可以得出数列{bₙ}为等差数列:

图8

根据等差数列性质有:

2bₘ=bₘ₋₁ + bₘ₊₁⇒

图9

求解可以得出：m=5.

2.函数法

例4⁽¹⁾ 已知等差数列{aₙ}中,a₁=1,前16项的

和为S₁₆=1，设Aₙ=a₂+a₄+a₈+…+a₂ₙ，求Aₙ的最大值.

解析:题目中已知 S₁₆=1,因此可以得出:

S16 = 16a₁+120d=1⇒

图10

由此可以得出:

a₂ₙ=a₁+(2ⁿ-1)d

图11

则：

图12

求Aₙ的最大值可通过求自变量n的函数Aₙ的最大值，求解得出:

当n=3时，Aₙ取最大值，

图13

三、方法总结

等差数列的考核形式多样，但其基础形式及相关性质是解答该类问题的根本.需要充分理解记忆等差数列基础知识,形成完整的思路框架,利用创造性思维在解答过程中快速准确求解⁽¹⁾.

参考文献:

⁽¹⁾宁永明，吴华.由教材定义出发，通过变式探索解题方法[J].新课程:中学,2019(5):6-8.

作者单位：

[江苏省新沂市第一中学(221400)]

文章来源：

数理化学习 高中版 2021年第7期 page 7～8

特别收录●等差数列基础知识

《数学辞海》第一卷中查阅等差数列，请看下图：

等差数列的常用公式如下：

已知首项和公差，可以用下面的公式求和。

变形一下，得到下面的公式：

还有一个推论：

已知首项和末项，古希腊的毕达哥拉斯学派得到求和公式如下：

文字公式如下：

和＝（首项＋末项）×项数÷2

求项数，求公差和求末项的公式如下：

用上面的公式还可以推导出求公差的公式：

文字公式如下：

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

末项=首项+（项数-1）×公差

等差数列的通项公式如下：

aₙ=a₁+(n-1)d

求首项的公式可以从求末项的公式中推导出来：

学好数学需要掌握好基础知识，万丈高楼平地起，夯实地基很重要。还有一些很深很难的知识点本文没有提及。以上，希望能够帮到同学们。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。