数学学习似乎是一个难题，有的孩子能轻松掌握，有的孩子却一窍不通；有的孩子小学时数学成绩优异，上了初中却面临成绩滑坡。面对这样的情况，需要教师深入了解学生状态，清楚不同阶段学生数学思维发展的特点。毕竟，真正决定课程的不是写在书上的各种观念与规定，而是天天和学生接触的教师。正确把握学情，尤其是掌握思维发展的特点，基于此设计教学活动，有利于教师提高课堂效率，事半功倍。

学情分析是教与学目标设定的基础，只有真正了解学生学情，才能确定学生在不同领域、不同学科和不同学习活动中的最近发展区。 然而很多老师在学情分析中往往忽略了对学生思维发展特点的分析。

数学是思维的体操，学生学习数学的方式是随着他们的思维发展而变化的。 数学学习要以学生一定的思维发展水平为前提，而学习数学又能促进思维的发展。

例如， 小学生的思维由具体形象思维向以抽象逻辑思维发展的过程中，存在一个转折期，即小学生思维发展的“关键年龄”。 很多家长会发现孩子在一、二、三年级时，学习成绩一直很好，进入四年级之后，排名突然下降了；而有一些家长发现孩子低年级时成绩平平，进入高年级以后，成绩反而上去了。

再如，对于处在经验型思维的 初中生 在学习数学概念时，需要具体的例子与经验做支撑，否则还难以接受某些数学概念。而 高一、高二被认为是学生思维发展的成熟期，学生可以摆脱具体例子和经验这根“拐杖”， 直接理解用语言或符号陈述的新概念。

但如果新的学习的内容超过了一定的难度，那么他们的思维水平就会*退倒**到原来的思维发展阶段。

因此，教师在指导学生学习数学时， 要与学生思维发展的进程相吻合， 既不能不顾学生思维发展的水平、阶段，要求他们学习难度过大或过于抽象得到内容，造成“消化不良”和学习负担过重；又不能低估学生的思维发展水平，降低学习要求，导致学生学习潜力的发挥受阻。

数学思维*力主能**要包括四个方面的内容： 会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

本文围绕 数概念的掌握、空间概念以及运算能力的发展 三个主题，介绍中小学学生在不同阶段数学思维能力的发展特点，以帮助教师更好地把握学生思维发展特点，并结合特点打造高质量的学习课堂。

数的概念在孩子认知过程中如何发展？

在数学学习中，掌握数的概念， 了解数的实际意义 十分重要，例如“3”是指三个物体； 理解数的顺序， 例如知道2在3之前，3在2之后，3比2大，2比3小等； 知道数的组成， 例如知道“3”可以由1+1+1组成，也可以由2+1或1+2组成。

小学阶段，学生对数的理解可分为五个等级， 教师应该了解这五个等级体现的学生数学思维特点，针对性地展开教学。

在直观概念水平，学生主要依靠实物、教具或配合手指头来掌握10以内的数概念，离开直观，运算就中断或发生困难。 4、5岁的小学生能够使用事物做载体进行数的判断、比较甚至计算，但他们还不能脱离实物进行认数和计数，一旦脱离了实物就不能理解数的真正意义。

在直观形象概括的运算水平，学生进入了“整数命题运算”，即掌握一定整数的实际意义、数的顺序大小和数的组成。 例如，“20”以内的数概念，“100”以内的数概念，“10000”以内的数概念，整数四则运算概念等。一年级的学生正处于这一水平，虽然很多学生能拿到100分，但是有的学生在运算中仍靠数手指头，有的学生必须出声叙述自己思考与运算的过程。

属于形象抽象的运算水平的学生，则处于从形象概括向抽象概括发展的过程。 学生能掌握大量数的实际意义，不仅理解多位整数，而且掌握分数，简单正负数的大小、顺序和组成等内容。有相关研究表明，五六年级的学生已经能够掌握分数所代表的部分和整体的意义，但还不能很好地掌握分数测量的意义。

第四级是初步的，本质抽象概括的运算水平，即初步代数的概括运算水平。 这一水平的学生应该能够掌握，例如公约数和公倍数的运算，能在思维过程中运用分析法和综合法来解答“典型应用题”等。

第五级则进入了代数命题概括运算，处于这一级别的学生能够根据假定进行概括，完全抛开算数框架进行运算， 但能达到这一阶段的学生还在少数。

而进入中学，学生数的概念逐渐得到扩充，从“自然数”到“正整数”、“有理数”、“实数”、“复数”一直到“数”，其中， 初中二年级是数学概括能力发展中第一个转折点，中学生数学成绩明显分化。

进入高中， 学生的概括能力在高一、高二表现出“初步定型”， 之后概括能力基本上趋于一致，“假定”概括与辩证抽象能力进一步发展。

这要求 教师在向学生提供学习材料时，要根据他们的具体情况，做精心的设计与处理。 比方说在学习映射概念的时候，通常教师都是给出几个例子：

然后告诉学生把（2）、（3）、（4）这样的对应叫做映射。但在这样的方式下学习，学生往往不明白为什么称他们为映射，而只是按照老师说的内容死记硬背。

映射的本质是集合A中的每个元素在集合B中有且只有一个元素和它对应。 若教师给出具体的例子，教学效果将会大不相同。 例如，教师用手电筒作为光源，让一个同学配合伸出手掌，映像在墙壁上。五根手指在墙上都有相应的影像，说明了集合A中的每一个元素在集合B中都有元素和它对应。而五根手指映不出第六根手指，说明集合A中的元素在集合B中只有一个元素和它对应。

同时，学生可以通过变化角度或手势，让五根手指映出的像是四根手指，这说明集合A中的两个元素可以有相同的像。

通过这样引例，教师能帮助学生理解映射的正确概念，澄清了学生头脑中影响一定是从数集到数集的对应的错误认识。 可见，结合学生思维发展水平，科学设计教学过程对提高教学效果、培养学生思维能力的重要性。

面对空间和运算，学生的认知发展有何特点？

除了对数的概念的把握，空间概念以及运算能力也是数学思维能力中的重要内容。在这两方面涉及了学生的 空间认知、逻辑推理等思维能力， 学生同样存在阶段性的差异和特点。

空间概念 是指物体的形状、大小、位置、方向、距离等形象在人脑中的表象。

小学生对几何图形的认知有一定的阶段性、发展性。 一年级学生不仅可以把先前看过的几何图形在另一种不同的视觉角度下仍然认作同一个图形，还可以达到将几个同类的平面几何图形，例如不同三角形视为同一类的水平。到了六年级，一般的学生就可以用语言符号对几何图形的特征进行描述。

同样的， 小学生对长度、面积、体积概念的形成和发展都呈现出一定的顺序。 比如，5——12岁的孩子掌握长度概念时，有感知动作、表象、概念三种思维水平；而对于长度概念的加速期在6——7岁和8——9岁，成熟期则在11岁。

进入中学，学生的空间想象能力有了一定发展，也可以分为四级： 第一，用数字计算面积和体积，这时具体形象性还占据一定优势；第二阶段是处于对平面几何进行运算的水平；第三级是掌握多面体阶段；第四级是理解旋转体阶段，能够掌握全部立体几何的运算。

初中二年级是空间想象能力发展的质变时期， 但真正掌握多面体与旋转体运算还是在进入高中以后， 高一、高二年级是空间想象力初步成熟的年龄。

而在 运算能力 方面，小学生的运算能力是在他们推理能力发展的基础上发展起来的，同时，数*运学**算也促进了学生推理能力的进一步发展。

例如，面对“树上有4只鸟，又飞来3只鸟，树上一共有几只鸟？”的问题， 刚进入小学的学生在很大程度上还要依赖对事物的直观 。因此，教师可以通过拼音、画图等方式帮助学生把加减法运算的表征符号与现实背景联系起来，通过学具的辅助，在小学低年级学习数的计算时真正帮助他们理解加减法运算的意义。

再如，小学生学习乘法初期，学生虽然能求出5×2=10，5×3=15，但是他们的计算方式还处于5×2就是5+5的水平，乘法还没有成为孩子熟练的智力活动。

随着年纪的增高，学生在学习计算中借助实物、依赖直观的现象逐渐减少。 在这个过程中，学生不仅学会了计算的法则，抽象思维的水平也在逐渐提高，能够 从“在数字习题中运用运算法则”到“在简单文字习题中运用运算法则”，再到“于代数式和几何演算中运用法则”。

在中学阶段，学生的逻辑推理能力于数*运学**算中不断发展，体现为四个级别的水平： 第一级是直接推理，能够套用公式，根据条件，直接地推出结论；第二级是间接推理水平，学生能够不套用公式，而是变化条件，在寻找依据的过程中推导出结论；第三级是迂回推理水平，先分析前提，再提出假设，随后进行反复验证，得出结论；第四级是按照一定数理逻辑格式，进行综合性推理的水平，这时，学生的推理过程逐步简练、合理化。

进入高中阶段， 高一年级学生多数能够进行多步推理，高二年级时期能够具备较完善的推理能力。 尽管随着数学习题难度的加大，他们的推理能力发展会发生困难，但是在各个年龄阶段，学生都具备一定的推理能力，如果教学得当，对学生欠缺的数学知识进行补习，他们的推理能力是能够更上一层楼的。

陕西师范大学的 严文法教授 认为， 真正决定课程的不是写在书上的各种观念与规定，而是天天和学生接触的教师。 有时，尽管专家们花了大量的精力，认真准备了课程标准和教材，但是一到学校，教师一个人便决定了一切。

教师对教学的作用之大，责任之重， 要求教师不仅备课，更要“备学生”。 不仅在数学学科中，在各个学科里，只有了解、掌握了学生思维发展的特点，教师才能在教学中更全面、正确地进行学情分析，设计教学活动，实现高效的课堂教学。

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