2022年浙江省嘉兴市第24题（最后一题），此题是属于阅读理解题型。主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等。图形太小，最后一问重新画图可以帮助寻找思路。

24．（12分）小东在做九上课本123页习题：“1： 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

（1）你赞同他的做法吗？请说明理由．

（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．

①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．

②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．

思路分析：第（1）问，利用等腰直角三角形的性质即可解决；第（2）问①，由AC=AP和∠CAB=45°，可得∠APC=67.5°，再由△DPE∽△CPB，得∠DPE=∠CPB，所以∠BPE=67.5°，故∠CPE=45°；②点D为线段AC的“趣点”和点P为线段AB的“趣点”可证△APD∽△ABC，得∠APD=∠B=45°，所以PD∥BC，此时可求∠DPC=∠PCB=∠PDE=∠DNC=∠BPE=22.5°，所以△MPE是等腰直角三角形，MC=MP=MN，故MN:ME=1： ，点N是线段ME的“趣点”。

解题思路：