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概率论总结
目 录
一、 前五章总结
第一章 随机事件和概率 …………………………1
第二章 随机变量及其分布……………………….5
第三章 多维随机变量及其分布…………………10
第四章 随机变量的数字特征……………………13
第五章 极限定理………………………………...18
二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20
一、前五章总结
第一章 随机事件和概率
第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BÉA或AÌB。
若AÌB且AÉB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
定义：和事件
“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。
定义：积事件
称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
定义：差事件
称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eÏB} 。
定义：互不相容事件或互斥事件
如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
定义6：逆事件/对立事件
称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā 。A与Ā满足：A∪Ā= S,且AĀ=Φ。
运算律：
设A，B，C为事件，则有
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
小结：
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系：包含、相等、对立、互不相容；
四种运算：和、积、差、逆；
四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：
1、 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：P(A)＝k/n＝A包含的样本点数/S中的样本点数。
2、 几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：
P（A）=μ（A）/μ（S） 假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.
概率的性质：
（3）
（4） 若AÌB，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).
第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.
乘法公式： 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式：设A 1 ,A 2 ,…,A n 是试验E的样本空间Ω的一个划分，且
P(A i )>0，i =1,2,…,n, B是任一事件, 则
贝叶斯公式：设A 1 ,A 2 ,…,A n 是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P(A i )>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且P(B)>0, 则
第五节 ：若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、B、C，若
P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则称事件 A、B、C相互独立.
第六节：定理 对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为
总结：
1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。
4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。
第二章：随机变量及其分布
1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设 X 是一个 r.v，x为一个任意实数，称函数
F(X)=P（X≤x）为 X 的分布函数。X 的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x) 或 F X (x).
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 （x≤X）。
1、 离散型随机变量及其分布
定义1 ：设x k (k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式P(X=xk)=PK, 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中PK,≥0；ΣPk=1
分布律与分布函数的关系：
（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：
①设一离散型随机变量X的分布律为
P{X=x k }=p k (k=1，2，…)
由概率的可列可加性可得X的分布函数为
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：
一、 三种常用离散型随机变量的分布
. 1（0－1）分布：
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为
P{X=k}=p k (1-p) 1-k , k=0，1. (0<p<1)
则称X服从（0－1）分布,记为X~（0－1）分布。
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
