三角函数的应用初中 (三角函数的应用视频讲解)

5．7　三角函数的应用

问题导学

预习教材P242－P248，并思考以下问题：

1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？

2．解三角函数应用题有哪四步？

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义

■名师点拨

当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin4(π)的初相不是φ＝－4(π).

2．三角函数模型的建立程序

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(　　)

(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.(　　)

(3)“五点法”作函数y＝2sin3(π)在一个周期上的简图时，第一个点为，0(π).(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

函数y＝2sin5(π)的周期、振幅依次是(　　)

A．4π，－2　　　　　　　　 B．4π，2

C．π，2 D．π，－2

答案：B

函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)

A．A＝3，T＝6(5π) B．A＝3，T＝3(5π)

C．A＝2(3)，T＝6(5π) D．A＝2(3)，T＝3(5π)

答案：D

已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为(　　)

A．60 B．70

C．80 D．90

答案：C

已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin3(π)，则当t＝200(1)s时，电流强度为(　　)

A．5A B．2.5A

C．2A D．－5A

答案：B

三角函数在物理中的应用

已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin4(π).

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．

【解】　(1)令t＝0，得h＝3sin 4(π)＝2(2)，所以开始振动的位置为2(2).

(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为8(π)，即所求最高点为，3(π)；当h＝－3时，t的最小值为8(5π)，即所求最低点为，－3(5π).

利用三角函数处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．

1.

如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin3(π)，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　)

A．2 s　　　　　　　　　　 B．1 s

C.2(1) s D.4(1) s

解析：选C.由题意，知周期T＝2π(2π)＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为2(1) s.

2. 已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ω t＋φ)

2(π).

(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；

(2)如果t在任意一段150(1) s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？

解：(1)由题图知A＝300，周期

T＝2900(1)＝75(1)，

所以ω＝T(2π)＝150π.

又当t＝180(1)时，I＝0，

即sin＋φ(1)＝0，

而|φ|＜2(π)，所以φ＝6(π).

故所求的解析式为

I＝300sin6(π).

(2)依题意，周期T≤150(1)，即ω(2π)≤150(1)，

所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.

三角函数在实际生活中的应用

如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？

【解】　(1)如图，建立直角坐标系，设角φ<φ<0(π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为60(5×2π)＝6(π)，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，

所以z＝4sint＋φ(π)＋2.

当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－2(1)，即φ＝－6(π).

故所求的函数表达式为

z＝4sin6(π)＋2.

(2)令z＝4sin6(π)＋2＝6，

得sin6(π)＝1.

取6(π)t－6(π)＝2(π)，得t＝4.

故点P第一次到达最高点需要4 s.

解三角函数应用问题的基本步骤

下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().

以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．

(1)描出散点图；

(2)用正弦曲线去拟合这些数据；

(3)这个函数的周期是多少？

(4)估计这个正弦曲线的振幅A；

(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

①A(y)＝cos6(πx)；②A(y－46)＝cos6(πx)；

③－A(y－46)＝cos6(πx)；④A(y－26)＝sin6(πx).

解：(1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．

(3)1月份的平均气温最低，为21.4 ，7月份的平均气温最高，为73.0 ，根据散点图知2(T)＝7－1＝6，所以T＝12.

(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.

(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，

代入①，得A(y)＝25.8(26.0)>1≠cos6(π)，所以①不适合．

代入②，得A(y－46)＝25.8(26.0－46)<0≠cos6(π)，

所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．

1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin2(t)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0，5]　　　　　　　　　 B．[5，10]

C．[10，15] D．[15，20]

解析：选C.由2kπ－2(π)≤2(t)≤2kπ＋2(π)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.

2．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为7(2π)，初相为6(π)，则这个函数的解析式为________．

解析：由题意得A＝3，T＝7(2π)，φ＝6(π)，则ω＝T(2π)＝7，

故所求函数的解析式为y＝3sin6(π).

答案：y＝3sin6(π)

3．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)

(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．

解：(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)，由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，

故振幅A＝2(200)＝100，ω＝12(2π)＝6(π)，b＝800.

又因为7月1日种群数量达到最高，

所以6(π)×6＋a＝2(π)＋2kπ(k∈Z)．

又因为|a|＜π，所以a＝－2(π).

故种群数量y关于时间t的函数解析式为

y＝800＋100sin 6(π)(t－3)．

(2)种群数量关于时间变化的草图如图所示．

[A　基础达标]

1．函数y＝－2sin2(x)的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．2π，－2，4(π)　　　　　　 B．4π，－2，4(π)

C．2π，2，－4(π) D．4π，2，－4(π)

解析：选D.y＝－2sin2(x)＝2sin4(π)，所以周期T＝2(1)＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－4(π).

2．(2019·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)

A．y＝3sin6(π)t＋12 B．y＝－3sin6(π)t＋12

C．y＝3sin12(π)t＋12 D．y＝3cos12(π)t＋12

解析：选A.根据题意，由ω＝T(2π)＝12(2π)＝6(π)，排除选项C，D.当t＝3时，3sin6(π)t＋12＝3sin×3(π)＋12＝15，符合题意，－3sin6(π)t＋12＝－3sin×3(π)＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．

3．(2019·山东聊城期末考试)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P03()开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为(　　)

A．y＝sin3(π)，t≥0 B．y＝sin6(π)，t≥0

C．y＝－cos3(π)，t≥0 D．y＝－cos6(π)，t≥0

解析：选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－3(π)，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sin3(π)，t≥0，故选A.

4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin6(π)，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.

解析：当t＝12时，f(12)＝2sin6(π)＝2sin6(5π)＝1.

答案：1

5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．

解析：

秒针1 s转30(π)弧度，t s后秒针转了30(π)t弧度，如图所示，sin 60(πt)＝2()，

所以d＝10sin 60(πt).

答案：10sin 60(πt)

6．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin2(π)＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m 以上的时间将持续____________min.

解析：40sin2(π)＋50>70，

即cos6(π)t<－2(1)，从而3(2π)<6(πt)<3(4π)，

4<t<8，即持续时间为4 min.

答案：4

7．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

(1)求函数p(t)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．

解：(1)T＝|ω|(2π)＝160π(2π)＝80(1)(min)．

(2)f＝T(1)＝80.

(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，

p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．

即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．

8.

如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．

(1)经过多长时间，小球往复振动一次？

(2)求这条曲线的函数解析式；

(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？

解：(1)由题图可知，

周期T＝212(π)＝π，

所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.

(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，

从题图中可以看出A＝4，T＝2×12(π)＝π.即ω(2π)＝π，即ω＝2，将t＝12(π)，s＝4代入解析式，得sin＋φ(π)＝1，解得φ＝3(π).

所以这条曲线的函数解析式为

s＝4sin3(π)，t∈[0，＋∞)．

(3)当t＝0时，s＝4sin 3(π)＝2(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.

[B　能力提升]

9．如图

所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min) 之间的函数关系是(　　)

A．h＝8cos6(π)t＋10 B．h＝－8cos3(π)t＋10

C．h＝－8sin6(π)t＋10 D．h＝－8cos6(π)t＋10

解析：选D.依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝12(2π)＝6(π)，则h＝8sin＋φ(πt)＋10，当t＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－2(π)，所以h＝8sin2(π)＋10＝－8cos6(π)t＋10.

10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos（x－6）(π)(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃.

解析：依题意知，a＝2(28＋18)＝23，A＝2(28－18)＝5，

所以y＝23＋5cos（x－6）(π)，

当x＝10时，y＝23＋5cos×4(π)＝20.5.

答案：20.5

11．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋B(A>0，ω>0)的图象．

(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝T(2π)＝6(π).

又因为ymin＝7，ymax＝13，所以A＝2(1)(ymax－ymin)＝3，B＝2(1)(ymax＋ymin)＝10.

所以函数的解析式为y＝3sin6(π)t＋10(0≤t≤24)．

(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sin6(π)t＋10≥11.5，t∈[0，24]，所以sin6(π)t≥2(1)，所以6(π)t∈6(5π)，k＝0，1，所以t∈[1，5]或t∈[13，17]．

所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00 能安全进港．

若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．

12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，

所以f(8)＝500.

根据上述分析可得，ω(2π)＝12，

故ω＝6(π)，且A＋B＝500，(－A＋B＝100，)

解得B＝300.(A＝200，)

根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，

当x＝8时，f(x)最大，

故sin＋φ(π)＝－1，

且sin＋φ(π)＝1.

又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－6(5π).

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)＝200sin6(5π)＋300.

(2)由条件可知，200sin6(5π)＋300≥400，

化简，得sin6(5π)≥2(1)⇒2kπ＋6(π)≤6(π)x－6(5π)≤2kπ＋6(5π)，k∈Z，

解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.

因为x∈N*，且1≤x≤12，

故x＝6，7，8，9，10.

即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．

[C　拓展探究]

13．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2(π)，x∈[4，8])的图象，图象的最高点为B3(3)，且DF⊥OC，垂足为点F.

(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；

(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为3(4)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

解：(1)由图象，可知A＝3(3)，ω＝T(2π)＝4×（8－5）(2π)＝6(π)，

将B3(3)代入y

＝3(3)sinx＋φ(π)中，

得6(5π)＋φ＝2kπ＋2(π)(k∈Z)，即φ＝2kπ－3(π)(k∈Z)．

因为|φ|<2(π)，所以φ＝－3(π)，

故y＝3(3)sin3(π).

(2)在y＝3(3)sin3(π)中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)，则P3()，

所以矩形PMFE的面积为S＝3(4)×3(3)＝9(3)，即儿童乐园的面积为9(3).