不定方程 indeterminate equation
解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数，甚至某些p进数的方程或方程组。通常其未知数的个数多于方程的个数，又称丢番图方程。
3世纪古希腊数学家丢番图在其著作《算术》中研究了许多不定方程。它是数论的一个历史悠久而内容丰富的重要分支，并且与数论其他分支（如超越数论、丢番图逼近论、代数数论）及代数几何学、离散数学等均有密切联系，特别与算术代数几何学（丢番图几何）具有许多共同研究对象，近20年来它还在有限单群、组合设计及图论等问题中得到实际应用。
最简单的不定方程是一次不定方程 ，其中诸系数 是非零整数，n是给定的整数。它有（整数）解的充分必要条件是诸系数的最大公因数整除n。
当s=2时其全部解可表示为 ， 。其中 是方程组的一组解，t为任意整数。
最重要也是最基本的二次不定方程是佩尔方程 。
它们可以用数论中经典的初等方法求解，一般的二元二次方程如果有解，常可归结为上面的方程。
存在着大量可用经典初等方法求解的具体的不定方程，其中另一种重要的例子是方程 。
它的正整数解表示边长为整数的直角三角形的直角边x、y和斜边z的长度。
中国古代数书（周髀算经）中记载了商高（约公元前1100年）的一段话：“折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即方程有正整数解x=3，y=4，z=5。
古希腊的毕达哥拉斯（约前6世纪）学派也对这个方程作了研究。
故满足此方程的正整数组称为勾股数、商高数或毕达哥拉斯数。
所有互素的勾股数由 ， ， 给出，其中m，n是互素整数，m＞n＞0，这是印度数学家婆罗摩笈多（约6世纪）得到的。
这个方程的自然推广是 。1637年P.de费马声称他证明了这个方程当n≥3时没有非零正整数解，但其证明始终没有被发现，所以被称为费马猜想（或费马大定理）。解决这个猜想的努力有力地推动了代数数论的发展。
1983年德国数学家G.法尔廷斯用算术代数几何学的方法证明了当n≥3时这个方程的整数解的个数有限。
它最终于1995年被英国数学家A.外尔斯结合运用算术代数几何学、群表示论及模形式理论等予以证明，这是算术代数几何的重大进展。
20世纪70年代A.贝克关于代数数的对数的线性型下界估计的工作为不定方程的研究提供了有效性方法，即可以给出某些不定方程解的绝对值的上界的明显估计。
例如，对于不定方程 （其中n≥3，系数 和A为整数，左边多项式不能分解为两个次数≥1的有理系数多项式的乘积）。
20世纪初A.图埃用丢番图逼近的方法证明了它只有有限多个整数解，但不能得出解或解数的界限。
有效性方法给出它的解x，y满足 ，其中 是可通过方程系数计算的常数。
1842年E.卡坦朗猜想：除 ， 外没有两个连续数都是正整数的乘幂，即不定方程 仅有解p=2，q=3，x=3，y=2。
1962年柯召应用漂亮的初等方法证明了当p=2，q＞3这一重要情形时方程无正整数解。
应用贝克方法，1975年R.特艾德曼证明了至多有有限对整数幂之差为1，基本解决了卡坦朗猜想。
推荐书目
柯召，孙琦. 谈谈不定方程. 上海：上海教育出版社，1980.
MORDELL L J. Diophantine Equations. New York: Academic Press, 1969.
LANG S. Fundamentals of Diophantine Geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1983.
SHOREY T N, TIJDEMAN R. Expotential Diophantine Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1986.
SPRINDZU V G. Classical Diophantine Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1993.
摘自：《中国大百科全书（第2版）》第3册，中国大百科全书出版社，2009年