你有没有问过自己如何计算无理指数？例如，什么是价值

它实际上是一个无理数，您可能不会感到惊讶。但这是如何工作的呢？我们通常被告知有一个数字，例如

在本文中，我们将讨论指数的准确定义是什么样的，以及您的计算器或计算软件最有可能如何计算它。

首先，让我们将讨论限制在仅考虑

让 n=-m>0 我们看到

这允许我们将定*解义**释为

我们的定义再次起作用。

一旦允许 m 是无理数，就无法挽救这个定义。乘以某些东西（例如 π 或 e 次）根本没有意义。

使用这个原始定义，我们最多只能给出一个近似的解释。为了解释我的意思，我们只考虑 x=2 和 m=π 的情况。我们当然可以使用泰勒定理等方法将 π 逼近到任何你想要的水平。通过这种逼近，我们可以给出一个近似的解释，例如

这种作品，但它肯定不漂亮，更重要的是，它不是一个准确的定义。但是，也许，我们可以从中形成一个准确的定义。确实，我们使用的近似值越准确，我们的近似解释就越接近准确。

因此，如果我们查看我们数字的一系列近似值，例如

即它是 π 的近似序列，那么也许我们可以定义

这里 {s_i} 是 m 的近似序列，我们需要确保极限存在。这本身可能不是太糟糕，除了我们有第二个问题。我们怎么知道要采用哪个近似序列？特别地，我们定义了

不管我们对“近似序列”{s_i} 的选择如何，这可能涉及大量工作。总的来说，尽管这个定义很直观，但使用起来可能是一场噩梦。

那么数学家使用什么定义呢？

很高兴你问了。对于 x>0，我们定义

指数函数的这个定义来自使用泰勒定理，自然对数函数的定义直接来自大学微积分课程。正如我所说，如果您不熟悉这些，请不要担心，需要注意的重要一点是它们都可以相对容易地计算，而且重要的是，与之前的定义不同，它们都定义明确，这意味着我们不无需担心得到不同的答案。

至于我们的定义，这是对指数函数和自然对数函数是反函数这一事实的简单操纵，即

现在有两个重要且有趣的观点值得一提：1. 正如您希望看到的那样，使用此定义编写一个程序来计算或至少近似计算包含无理指数的数字的值比使用我们的定义要简单得多之前的定义。据我所知，这正是您的计算器或计算软件计算这些值的方式。

2. 可以检查这个定义不仅与我们之前认为 m 是有理数时的定义一致，而且我们对指数的所有规则仍然成立。作为一个特殊的例子，我们可以看到

所以，假设 x>0，我们使用定义

或者我们可以吗？这是一个稍微复杂一点的事情，不是因为我们的定义不起作用，它仍然起作用，或者至少当你引入复数和主分支的概念时它仍然起作用。如果您不熟悉或不熟悉其中任何一个，请不要担心，我不会在本文中进行过多的详细介绍，因为这需要进行更深入的讨论。然而，我会让你知道会发生什么。

在一个非常简短且不完全准确的解释中，您需要了解的重要一点是，在复平面中，存在函数，例如 ln(x)，它们会变成“多值”。这只是意味着，与在实平面中考虑 ln(x) 不同，在复平面中考虑时，ln(x) 可以取多个值。

作为类比，考虑反正弦函数。我们知道

当涉及到复平面中的 ln(x) 等多值函数时，我们会做类似的事情。这种限制被称为取 ln(x) 的分支，我们通常取一个非常具体的限制，我们称之为 ln(x) 的主分支。我在这里的细节有点含糊，因为它们对于本文不是必需的，但是如果您希望我在另一篇文章中更详细地讨论这个主题，请告诉我。你要理解的要点是，采用这个分支可以让我们解决诸如在 x<0 时计算 ln(x) 等问题，而且还可以让我们保持我们的定义。

总而言之，一旦我们做了一些调整，我们就可以定义，对于所有的 x,m ∈ ℝ，

我希望你喜欢阅读这篇文章，就像我写这篇文章一样。我总是很喜欢这样的问题，这些问题让我思考我对我每天使用的一些基本数学原理的理解。这些通常是我，我敢肯定你们中的很多人，认为理所当然并且从不考虑的事情。然而，一旦我们真正考虑它们，它们就会显示图片中的内容比我们最初意识到的要多得多，这只会让这一切变得更加有趣。