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本文介绍一种生成伊斯兰zellij图案风格的随机独立组合的技术，zellij图案是一种在摩洛哥和西班牙南部发现的伊斯兰几何模式。我使用多重网格二元方法来生成多边形的随机排列，并用预先计算好的zellij瓷砖形状填充每个多边形。
介绍
生成艺术指的是广泛的艺术实践，艺术家建立一套规则或程序来管理艺术作品的创作，然后允许这些程序在没有人类干预的情况下进行[3]。在二十世纪，索尔·勒威特（Sol LeWitt）和约翰·凯奇（John Cage）等先锋艺术家的实验自然导致了计算机绘制的程序艺术，高质量的计算机图形、精确的数学计算和随机数生成器带来了明显的好处。围绕不可替代代币(NFT)的投机泡沫目前正在重新激发人们对生成艺术的兴趣。
生成美学可以激发传统艺术和装饰风格的新想法。由随机性驱动的自主过程可以产生新颖和意想不到的新设计，这一特征当然解释了使用卷积神经网络产生的艺术的一些成功。
生成艺术和伊斯兰几何图案存在奇妙的联系。可以开发一种算法，自动生成传统图案风格的新设计，但带有一些随机的、不可预测的结构。伊斯兰生成艺术还没有得到很多关注。传统的图案是精心组织和重复的(在装饰环境中是这样的)。Sama Mara为“A Hidden Order”设计的程序图形灵感来自伊斯兰艺术[4]，但不是基于传统的几何元素。
在本文中提到了一种构建生成伊斯兰设计的技术，灵感来自zellij图案。这里的zellij指的是在摩洛哥和西班牙南部常见的一种伊斯兰几何图案，通常由成千上万块手工切割的小瓷砖组成。我首先使用与非周期平铺相关的技术构建一个粗多边形拼块，然后用从预定义库中提取的zellij形状排列填充拼块中的每个多边形。
行星和飞船的骨架
Jean-Marc Castera对zellij图案的几何形状进行了彻底的分析，包括它们经常包含的大恒星[1]。他指出，许多图案可以用骨架来理解，骨架是将设计边界粗略细分为等边多边形，边缘方向限制在45度的倍数。图案的骨架通常由两种形状的网络覆盖，如图所示，由两个重叠的正方形组成的八角星，以及由两个等腰三角形组合而成的飞船六边形。然后用额外的zellij瓷砖填充骨架的多边形，这些瓷砖通常取自几十个形状的标准组合。
图1显示了四个简单的多边形：正方形、菱形、飞船六边形和八边形。每个多边形都附有几片zellij瓷砖，可以用来填充它。在每个拼块中，多边形的外边界由一系列交替的黑星和飞船六边形描绘。这些拼块中的大多数在真实世界的zellij模式中是常见的。少数是Edgar A. Bering IV在未发表的作品中用蛮力搜索发现的。
图1：Zellij图案中使用的四个标准骨架多边形，正方形、菱形、六边形和八边形。每个多边形都以几种不同的方式被标准的图块填充。
许多其他骨架多边形自然出现在zellij图案中，并填充有标准拼块。我将重点放在这里显示的四个多边形上，因为它们与下一节的框架结构兼容。
利用二元化构造随机拼块
我们现在可以从任何边对边相交的骨架多边形集合中构建一个随机的zellij图案。使用回溯的强力搜索来生成任意大的简单连接的拼块很容易，但是很慢。幸运的是，N. G. de Bruijn的多重网格方法[2]的一个变体提供了一种创建随机拼块的快速方法，该方法最初是为了解释彭罗斯镶嵌的结构而开发的。
在多重网格方法中，de Bruijn在一般位置上叠加了五个均匀间隔的平行线光栅，并在两条线的每个交点上放置一个菱形二元。值得注意的是，菱形滑动到一起平铺平面，没有间隙或重叠。其他人的后续工作[5，6]证明了这种二元化技术可以推广到各种各样的输入几何。
图2展示了我用来创建随机骨架的多重网格方法的变体。如果原始线被限制为45度的倍数，那么二元瓦片的边缘也是如此。与de Bruijn的方法不同，直线不需要处于一般位置:两条以上的直线可以相交于一点。直到旋转，图2(a)显示了所有可能出现的相交，对于这些相交，二元多边形就是上一节中显示的骨架多边形。给定所有水平、垂直或对角穿过整数网格点的线，我在一个边界区域内选择一个随机子集，如图2(b)中粗体所示。如图2(c)所示，当在每个交叉点放置一个瓷砖时，通过沿着瓷砖的线条滑动瓷砖来移除所有的空白空间，图2(d)中的随机骨架就出现了。然后，我从图1中选择一个形状随机的拼块来填充每个瓷砖。
图2：使用二元化构建随机骨架的演示。不同的线交点(a)二元成图1的四个骨架多边形。通过整数格子(b)的点的线的随机子集二元为一组这样的瓷砖(c)，然后可以边对边地放置这些瓷砖以创建随机拼块(d)。
合并更大的骨架多边形
并不是所有常见的骨架多边形都是通过线交点的二元化自然产生的。然而，我们仍然可以通过对骨架进行后处理来合并相邻多边形的合适簇，从而恢复一些多样性。
例如，考虑图3左上角的两条水平线和两条垂直线的排列。我们可以覆盖上一节中随机选择的线，强制包含这四条线，并通过它们的四个交点抑制所有其他线。这种选择迫使骨架中包含2×2的正方形排列。我将这些方块合并成一个更大的方块，它支持几个不同的拼块，如图所示。图3右边的八条线的更复杂的排列产生了一簇八个正方形和八个菱形，它们可以合并成一个大的星形多边形，支持一个十六角的玫瑰花形。
图3：通过仔细选择线的配置作为二元化的输入，我们获得了可以合并到更大的骨架多边形中的簇，如双正方形(左)和大星形(右)。
图4：不同比例、拼块和配色方案的结果选择。
这种控制图形以诱导可合并聚类的方法可以推广到许多骨架多边形，这些多边形可以表示为图1中多边形的并集。
图4显示了一组随机生成的结果。该程序生成的结果在美学上是令人愉悦的有界组合(与无限装饰图案的片段相反)。
有许多方法可以扩展这项工作的范围，以处理更广泛的可生成伊斯兰几何图案。最明显的是，二元化技术只生成了一些骨架多边形形状，通过合并集群稍微补充了一些。一些重要的骨架多边形不能表示为图1中四个多边形的联合；未来的工作可以考虑用其他算法快速生成包含不同多边形的骨架。更广泛地说，扩展我的高度模块化的方法将是有趣的，基于zellij瓷砖形状的固定词汇表和一小组预先计算的拼块。一个完全通用的算法将生成一系列美学上兼容的瓷砖形状，以及将它们组合成抽象组合的规则。
参考文献
[1] J.-M. Castera. Arabesques: Decorative Art in Morocco . ACR Edition, 1999.
[2] N. G. de Bruijn. “Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane. I.” Indagationes Mathematicae (Proceedings) , vol. 84, no. 1, 1981, pp. 39–52.
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725881900160 .
[3] P. Galanter. Generative Art Theory . John Wiley & Sons, Ltd, 2016. ch. 5. pp. 146–180.
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/9781118475249.ch5 .
[4] S. Mara. “The Rhythm of a Pattern.” Bridges Conference Proceedings . Jyväskylä, Finland, August 9–13 2016. pp. 309–316. http://archive.bridgesmathart.org/2016/bridges2016-309.html .
[5] P. Stampfli. “New Quasiperiodic Lattices from the Grid Method.” Quasicrystals, Networks and Molecules of Fivefold Symmetry . I. Hargittai, Ed. VCH Publishers, 1990. ch. 12. pp. 201–221.
[6] D. Zongker. “Creation of Overlay Tilings Through Dualization of Regular Networks.” ISAMA 99 Proceedings . N. Friedman and J. Barrallo, Eds. 1999. pp. 495–502.
[7] Craig S. Kaplan，Generative Zellij
青山不改，绿水长流，在下告退。
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