2022年江苏省宿迁市第28题（最后一题），此题是二次函数为背景的综合题，主要考查二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，还涉及到轴对称、两直线垂直时它们的k值之积等于-1等。

28．（12分）如图，二次函数 与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

（1）求二次函数的表达式；

（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求 的最小值；

（3）当 时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

思路分析：第（1）问，把O（0，0），A（4，0）两点的坐标代入解析式即可。

第（2）问①，求出顶点C的坐标，可知△AOC是等腰直角三角形，得∠AOC=∠OAC=∠=BA′C=45°，又对顶角相等，得证；②由相似三角形对应边成比例，且OC= ，可得 ，当CD⊥x轴时，CD取得最小值，此时 的值最小。

第（3）问，由 ，知△OCD∽△A′BD的相似比为 ，可求出A′B=AB=1，得B（3，0），可求直线CB解析式，因为CB⊥A′A，可求直线A′A解析式，设A′A与CB交于点M，联立A′A与CB的解析式可求M点坐标，M是A′A的中点，利用中点坐标公式可求A′坐标，此时A′A的解析式可求，联立A′A和抛物线的解析式即可求得它们交点的横坐标。

解题思路：