余弦有锁，相似为钥——2022年宁波中考数学第24题
我们在学习圆心角、圆周角、弦、弧、弦心距等概念的时候，有这样一个定理，上述五组量中只要有一组量相等，则剩下四组量均相等，俗称“五合一”，无论是在教材或平时练习中，我们用得最多的是它们间的相等关系，然而相等关系可以轻易转换成比例关系，道理和全等、相似间的联系一样，例如圆周角之比为1:2，则它们所对的弧的比也是1:2；
在学习三角函数时，我们强调的是，初中阶段，一般在直角三角形中进行三角函数的求值计算，如果没有，则构造，由于三角函数是边长的比值，所以几何综合题中边长往往不是具体数字，并不会直接给出，这就需要我们设参表示。若是这个参数在求比值过程中消掉了，那么相对比较容易，若是消不掉，难度则上升了一个台阶。
题目
如图1，圆O为锐角△ABC的外接圆，点D在弧BC上，AD交BC于点F，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG.设∠ACB=α.
(1)用含α的代数式表示∠BFD；
(2)求证：△BDE≌△FDG；
(3)如图2，AD为圆O直径.
①当弧AB的长为2时，求弧AC的长；
②当OF:OE=4:11时，求cosα的值.
解析：
(1)∠AFB作为△BDF的外角，∠AFB=∠DBF+∠ADB，其中∠ADB=∠ACB，由条件∠AFB-∠BFD=∠ACB可得∠AFB=∠BFD+∠ACB，所以∠DBF=∠BFD，即等腰△BDF；
它的顶角为α，则两个底角分别为90°-1/2α，所以∠BFD=90°-1/2α；
(2)由AC∥FG可得∠DAC=∠DFG，而∠DAC=∠DBC，于是∠DBC=∠DFG，再加上前面已经证明的等腰△BDF中DB=DF，已知条件中的BE=FG，可证明△BDE≌△FDG；
(3)当AD成为直径之后，∠ABD=90°，我们先将能够用α表示的角写出来，在等腰△DBF中，两个底角已经求出来了，为90°-1/2α，这里依然成立；
①由△BDE≌△FDG可知∠BDE=∠FDG=α，即∠BDG=2α；
同时我们由前面的全等三角形还得到一个较小的等腰△DEG，它的顶角也是α，于是两个底角也是90°-1/2α；
∠DEG=∠DBC+∠BDE=∠DBC+α，而∠DEG作为等腰三角形底角，等于90°-1/2α，所以得到∠DBC+α=90°-1/2α，求出∠DBC=90°-3/2α；
然后∠ABC=∠ABD-∠DBC=90°-(90°-3/2α)=3/2α，即弧AC所对圆心角为3/2α，而弧AB所对圆心角为α，所以弧AC:弧AB=3:2，现在可以求出弧AC=3；
②求α的余弦值，需要放在直角三角形中，题目中恰好存在Rt△ABD，∠ADB=α，只需要表示出它的邻边BD和斜边AD即可；
在前面的推导过程中，我们发现∠DFB=90°-1/2α，同时∠DGB=90°-1/2α，所以我们连接OB，如下图:
∠OBF=∠DBF-∠DBO，而∠DBO=∠ODB=α，所以∠OBF=90°-1/2α-α=90°-3/2α，恰好和∠DBC相等，再加上∠BFO=∠BGD=90°-1/2α(它们都是等腰三角形的底角，前面已经表示过)，所以得到△BFO∽△BGD；
得到比例式OF:DG=BO:BD=k，不妨设OF=4x，OE=11x，则BO=k·BD，4x=k·DG=k·DE；
又DB=DF=DE+EF=15x+4x/k，将比例式中BO换成k·BD后，表示出BD=(4x+11kx)/k²，可列方程15x+4x/k=(4x+11kx)/k²，整理得15k²-7k-4=0，解得k=-1/3(舍)或k=4/5；
现在我们来求余弦值，cosα=BD:AD=BD:2BO=1:2k=5/8.
解题反思：
这道压轴题实质上有两个难点，其一是求弧长，其二是求余弦值。通常情况下，求弧长我们是已知半径、圆心角，但本题中的求弧长本质上是求弧长比值，这就需要用到弧、圆心角间的关系，教材上有相等的圆心角所对的弧相等，隐藏着圆心角的比等于弧的比，理解了这一层，第一个难点迎刃而解；
而求余弦的方法，则比较常规，恰恰在常规解法基础上，设置了障碍，即不容易表示出这个角的邻边和斜边，关键在于利用好图形中条件，构造出相似三角形，再列方程求解，这是典型的数形结合思想了。
微信公众号：爱数学做数学