图形的相似是初中数学的主要内容之一，是全等图形的继续延伸，图形的相似也是我们解决函数、圆、三角形等综合性问题的一个常用的知识点，在中考中占据着重要的地位。下面就相似三角形中几个常见的难点问题进行剖析，希望能为大家在解题思维、方法等方面提供帮助
方法一 ： "找"----找密切要用到的相似三角形
典型例题1. 感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC＝AB•CD（不需证明）
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，结论BP•PC＝AB•CD仍成立吗？请说明理由？
拓展：如图③，在△ABC中，点P是BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝4√2，CE＝3，则DE的长为______．
【分析】探究：通过相似三角形△ABP∽△PCD的对应边成比例来证得BP•PC＝AB•CD；
拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥BC且AC＝BC；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC＝BC＝4；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．
【解答】探究，成立，
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．
∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．
∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD，∴BP/CD=AB/PC，即BP•PC＝AB•CD；
拓展：同理可得△BDP∽△CPE，∴BD/CP=BP/CE，
∵点P是边BC的中点，∴BP＝CP＝2√2，
∵CE＝3，∴BD/2√2＝2√2/3，∴BD＝8/3，
∵∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，即AC⊥BC且AC＝BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4/3，AE＝AC﹣CE＝1，
在Rt△ADE中，利用勾股定理求得DE＝5/3.故答案是：5/3.
【方法规律】主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是△ABP∽△PCD．
判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等．
典型例题2.如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3。动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动。当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）
（2）设△OMN的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点的过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。
【思路解剖】本题考查了动点问题，求点的坐标，二次函数的最值问题，相似三角形的性质与判定，解题的关键是在平面直角坐标系下将求点的坐标问题转化为求线段的长度问题，将求△OMN的面积的最大值问题转化为二次函数问题，将求△OMN是直角三角形问题转化为相似三角型问题，简单概括就是会用转化思想解题.
由勾股定理可以计算OB=5，AM=x，ON=1.25x,则OM=4-x, 作NC⊥x轴于C.
【解答过程】（1）作NC⊥x轴于点C.
在Rt△OAB中，∵OA=4，AB=3，∴OB=5,
由题意知，AM=x，ON=1.25x，OM=4-x,
∵∠OAB=∠OCN，∠NOC=∠BOA，∴△ONC∽△OBA，
【易错点津】此类问题容易出错的地方是将△OMN的最大面积转化为二次函数最值问题，一是不会转化，二是计算错误；探索△OMN是直角三角形是本题的另一个容易出错的地方，忽略了分类讨论而丢解.
这是一道动点型问题，解这类题目要"以静制动"，即把动态问题，变为静态问题来解．一般方法：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的．针对运动的量，一般先用运动时间表示出所有能表示的线段．第二、画出图形，进行分析，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究．第三、做题过程中时刻注意分类讨论，以防漏解. 解题关键是如何找到要用到的相似三角形，这就需要同学们结合已知条件及所求结论来侦查有用信息。
方法二: "用"----恰当合理选用相似三角形的判定和性质
典型例题3.某兴趣小组开展课外活动，A、B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C、E、G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
【思路解剖】本题综合地考查了中心投影和相似三角形的判定与性质，解题的关键是画出投影中心及EF的投影后，利用相似三角形的判定与性质建立关于小明原来速度的方程．
（1） 延长AC、BG相交于点O，即得光源点，再延长OE交AB于点M，即得EF的投影．
（2）利用CG∥AB，得到△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，从而CE/AM=OE/OM,EG/MB=OE/OM,于是得到关于小明原来速度x的方程2x/(4x-1,2)=3x/(13.2-4x)，解之即可。
【解答过程】：（1）延长AC、BG相交于点O，延长OE交AB于点M，如下图，则点O、FM即可所作．
（2）设小明原来的速度为xm/s，则AD＝DF＝CE＝2xm，FH＝EG＝3xm，AM＝(4x－1.2)m，BM＝(12－4x＋1.2)m．
∵CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB．
经检验，x＝1.5是原方程的解，故x＝1.5．
答：小明原来的速度为1.5m/s．
【思维模式】此类问题容易出错的地方有三处，一处是对中心投影掌握不牢，不会画光源点及相关线段的投影；二是不能利用中心投影下相似三角形，建立关于小明原来速度的方程，导致第二问求不出来；三是分式方程忘记验根而丢分．
本题含作图与行程、相似于一体的试题，的确看起来很有趣！中心投影是物体在点光源下的投影，只有将两组投影对应点连线相交即得点光源的位置，同时其他物体在此光源下的投影也随即确定．
本题的二问挺有"个性"，是会让诸多考生头疼的问题，它超越了常规的考查，解答途径是利用CE∥AB产生的相似三角形来建立方程，这是一般思维难以企及的，值得大家玩法，也显得让人兴趣盎然！
典型例题4.在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．
（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．
【思路解剖】本题考查了矩形的综合（相似三角形的判定和性质、求二次函数的解析式并求其最值、函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数之间的关系），解题的关键是掌握矩形的有关性质、相似三角形的判定与性质、二次函数以及一元二次方程的有关知识．
（1）由MN⊥AM，可得出∠AMB+∠NMC=90°.易得∠AMB=∠MNC.从而得证；
（2）根据相似三角形的性质，由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；
（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得y＝a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合（2）中的结论，就可解决问题．
【解题过程】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°．
∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，∴△CMN∽△BAM；
要是y=a时，有唯一的解，则△=0，解得b=2a.
而N要在线段CD上，且可以与D点重合，∴0＜b≤2a.
【方法规律】利用相似建立函数关系，将函数的两个变量置于两个相似三角形的对应边中，利用相似三角形的性质建立等量关系，通过变形建立两个变量的函数关系.
典型例题5.已知P为△ABC所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，若存在一个三角形与△ABC相似（全等除外）那么就称P为△ABC的共相似点"根据"共相似点"是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点"，"边共相似点或"外共相似点"．
（1）据定义可知，等边三角形_____(填"存在"或"不存在）共相似点
【探究】用边共相似点探究三角形的形状
（2）如图1，若△ABC的一个边共相似点P与其对角项点B的连线，将△ABC分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【探究2】用内共相似点探究三角形的内角关系
（3）如图2，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，高线CD与角平分线BE交于点P，若P是△ABC的一个内共相似点试说明点E是△ABC的边共相似点，并直接写出∠A的度数；
【探究】探究直角三角形共相似点的个数
（4）如图3，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=√3，若△PBC与△ABC相以，则满足条件的P点共有______个．
【思路剖析】（1）根据"共相似点"的定义容易得出结论．
（2）根据题意得：△ABP∽△ACB，由相似三角形的性质得出∠ABP=∠C，同理得：∠CBP=∠A，得出∠ABC=∠A+∠C=180°﹣∠ABC，求出∠ABC=90°即可；
（3）根据题意得：△PBC∽△CAB，由相似三角形的性质得出∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，再由角平分线角平分线定义得出∠A=∠ABE=∠PBC，证出△BEC∽△ABC，得出点E是△ABC的边共相似点；由直角三角形的性质得出∠PCB+∠ABC=90°，得出2∠A+2∠A=90°，求出∠A=22.5°；
（4）通过作图得出△ABC的"共相似点"共有8个，
【解题过程】（1）根据"共相似点"的定义得：等边三角形不存在共相似点．
故答案为：不存在；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
根据题意得：△ABP∽△ACB，∴∠ABP=∠C，
同理得：∠CBP=∠A，∴∠ABC=∠A+∠C=180°﹣∠ABC，解得：∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）根据题意得：△PBC∽△CAB，∴∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠PBC，∴∠A=∠ABE=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC，
∵∠BCE=∠ACB，∠PBC=∠A，∴△BEC∽△ABC，∴点E是△ABC的边共相似点；
∵CD是△ABC的高，∴∠CDB=90°，∴∠PCB+∠ABC=90°，∴2∠A+2∠A=90°，
解得：∠A=22.5°；
（4）作CP⊥AB于P，则P为△ABC的"共相似点"；
过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是△ABC的"共相似点"；
作∠ABC的平分线与AC的交点P1是△ABC的"共相似点"；
过C作BP1的垂线，垂足是△ABC的"共相似点"；
同理：以上四个△ABC的"共相似点"关于直线BC的对称点是△ABC的"共相似点"；
∴△ABC的"共相似点"共有8个，如图所示：
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；理解"共相似点"定义，证明三角形相似是解决问题的关键．
方法三:"画"------通过画图觅得解题途径及思路
典型例题6.如图，在5×5的正方形网格中有△ABC，
（1）试在网格中画一个与△ABC相似且面积最大的△DEF，使它的顶点都落在小正方形的顶点上，这样的三角形能画 个．
（2）与△ABC的相似比不是1的格点三角形共有 个（相似比相同时只算1个）？
（3）求出（1）中△DEF的最大面积．
【思路剖析】利用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的三边都乘以√5，得到新的三角形的三边，从网格上画出即是所求的相似三角形，且面积最大．
【解题过程】：（1）在图中所给的网格*共中**能画出8个与△ABC相似且面积最大的格点三角形；
（2）与△ABC的相似比不是1的格点三角形共有4个；
（3）△DEF就是所求的最大的相似三角形．
S△ABC=1/2 ×2×1=1
根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△DEF=5
故答案为：（1）8；（2）4．
【点评】本题主要考查了利用网格画相似三角形的方法．但本题的难点在于计算三角形的面积，这要利用相似三角形的面积比等于相似比来计算．
典型例题7. 如图，▱ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）在直线AD找一点P，使以点B，P，C为顶点的三角形与以点C，D，P为顶点的三角形相似．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法）
【思路剖析】（1）BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DCE，所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F；
（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OC为半径作△BCF的外接圆⊙O，⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判断△BPC∽△CDP．
【解题过程】（1）证明：BF交AD于G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠FGE，
而∠FBC=∠DCE，∴∠FGE=∠DCE，
∵∠GEF=∠DEC，∴∠D=∠F；
（2）解：如图，点P为所作．
【方法点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了平行四边形的性质．解决（2）小题的关键是利用圆周角定理作∠BPC=∠F．
经过利用"找""用""画"这三个方法，适当刷刷薄弱环节的习题，一定会提升解决相似形难题的能力。
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