如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，D是OA的中点，OE⊥CD交BC于点E，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OE运动．
(1)求直线OE的解析式；
(2)设以C，P，D，B为顶点的凸四边形的面积为S，点P的运动时间为t(单位：秒)，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
(3)设点N为矩形的中心，则在点P运动过程中，是否存在点P，使以P，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：
(1)正比例函数，代入点E坐标即可。由题目条件可知△COD为等腰直角三角形，OE⊥CD，可得△OCE也为等腰三角形，从而E为BC中点，坐标不难求；
(2)点P在射线上运动，分成在线段OF上，线段FE上和剩余射线上三种情况，不妨用铅笔在图上描画一番，由于题目限定了是凸四边形，所以当点P在线段FE上时，不符合要求，剩下两段符合，如下图所示：
求四边形面积时，通常将它分割成两个三角形，恰好有一个△CBD面积始终为定值，当点P在线段OF上时，我们只需要关注△CDP，此时PF即为它的高，CD为底，PF=OF-OP=√2-2t，CD=2√2；
而当点P在剩余射线上时，我们只需要关注△CBP，此时它的底为CB，高为PG，PG=PE÷√2=(OP-OE)÷√2=(2t-2√2)÷√2=√2t-2,如下图所示：S与t的函数关系式请自行求解。
(3)解决直角三角形的存在性问题，先确定哪个点为直角顶点，例如这里点P、C、N均有可能，但是C和N是两个定点，优先从它们开始讨论
，若点C为直角顶点，那么CN便为其一条直角边，我们过点C作CN的垂线，就能得到这个直角三角形的另一条直角边，可我们发现，这条垂线与直线OE的交点不在射线OE上，不符合要求，如下图所示；
若点N为直角顶点，我们过点N作CN的垂线，发现它与射线OE有一个交点，它就是我们找到的第一个符合条件的P点。下面我们来求t值和它的坐标，利用解析法，先求直线AC的解析式，找到它的斜率，然后根据互相垂直的直线，斜率互为负倒数，得到直线PN的斜率，代入点N坐标，即得PN解析式，再联立OE和PN解析式，求出交点P坐标，最后根据OP=2t求出t值，如下图所示；
若点P为直角顶点，意味着CN为斜边，此时难点在于如何确定P在射线OE上的位置，至少要作出草图，相比拿铅笔在上面乱点一气，不如静下心来好好想想，怎么准确地找到它。这时最有效的工具便是圆周角，如果以CN为直径作圆，这个圆与射线OE有两个交点，则这两个交点一定是我们要找的P点，因为∠CPN是直径所对的圆周角，如下图：
我们作图后发现，有一个P点恰好与E点重合，这是正常的，而另一个交点位于线段OF上，是本题难点，利用平面内两点距离公式，分别求出CP²、PN²，利用勾股定理列出一个关于t的一元二次方程，这个方程可用十字相乘法或配方法来解，两根分别是无理数，请根据以上思路自行求解。