＂素数公理化系统”又称《孙氏素数九大公理》，是在欧几里得＂算术基本定理的基础上整理创建出来的。是用欧几里得公理化方法组建朴素易懂的素数理论系统的研究方法，旨在克服素数研究历史上出现的悖论和晦涩难懂甚至是不能自圆其说的传统理论。通过素数公理化系统的建立，改进和完善历史上名目繁多的传统筛法理论，迴避这些筛法理论的局限性、繁琐性和复杂性。同时批判性地吸取传统数论中的精华，去其糟粕，开辟一条全新的素数研究路线，走出一个全新的素数硏究方向，从而创建和发现人类苦苦追寻两千多年都无法找到的“素数普遍公式”、“素数极限公式＂、＂永恒的孪生素数统计公式＂…从多渠道多种方法排列和证明了自然数中的确存在有一个＂横平竖直，齐整有序”的无限趋于100%的“全素数表”系列，“全素数表”系列的发现，困扰人类几千年的“素数问题”和名目繁多的素数“猜想”几乎全盘性崩溃和瓦解，素数分布的奥秘从此大白于天下。

公理1：又称“算术公理＂

大于“1”的自然数都可以表示为素因子乘积。

诠释：“公理1＂又称为“算术公理＂在数论中人们称为“欧几里得算术基本定理。其内容由两部分构成：一是自然数分解的存在性，二是自然数分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解素因子乘积的方式是唯一的。由此定理我们从逆反方向来理解得出结论：大于＂1＂的自然数都可以从素数的倍数中衍生出来。由于“算术基本定理＂在数论中广泛使用的普遍性，人们早把它看成是许多定理的逻辑支承点和出发点，都把这条定理作为不证自明、不攻自破的一条数学公理。＂孙氏素数九大公理”是在欧几里得算术公理的基础上创建出来的，我们把它作为素数九大公理系统中第一条起引领作用。。

公理2：自然数构造

大于“1＂的自然数中只存在有两种数：一种是“素数＂，另一种是“合数”。

诠释：由于素数在自然数数轴上运行表现出时疏时密、时隐时现、神出鬼没，来去无踪，数学家们无法找到它出现的规则和秩序，这就给人类造成素数和自然数体系的复杂性、抽象性和神秘感，使人们认知自然数和素数规律产生一种高不可攀的畏惧感和神秘性。公理2则给人们清淅地指出：自然数的构造並不复杂，它只存在有两种数，除了合数，就是素数。因此我们假如在一个完整的自然数体系中来分析，人们只要把合数排除，素数就会水落石出而“图穷*首匕**见”。因为大于“1”的自然数中只存在有两种数：一种是素数，另一种是合数。

实际上，古老的＂埃式筛法＂和历代数论学家改进或创新的“筛法＂几乎都是运用＂排除合数，获取素数＂的原理来搜索越来越大的素数。著明数学家陈景润还把筛法原理发挥到极致运用到达光辉的顶点，但还是发现不了素数分布规律，还是证明不了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。因为人们只局限在给定自然数N内“排除合数，获得有限的N内素数”，根本看不到N外无穷无尽的素数生成原理和规律。

“筛法理论是人类智慧的结晶，有的人认为＂筛法理论＂用到陈景润时代已是江郎才尽、油尽灯枯了，这个理论再也沒有改革创新的价值和必要了，这是一种科学静止论的观点，不可取。我们将在公理8中给读者介绍，如何运用公理2、公理8和其他公理共同对筛法理论进行大刀阔斧地改革和创新，不是象传统理论那样局限在给定自然数N内排除N内合数，获得N内素数。而是在一个完整的自然数体系中排除无穷的素因子合数，从而获得的不仅仅是N内100％的素数，而且还获得了无穷无尽的素数生成原理，推出了一个几乎100％的无限延伸的顺序素数表和＂全素数表”来，从而揭穿了素数分布的千古谜团。敬请读者留心关注！

公理3：素数

素数只有一个素因子。

公理4：合数

合数有两个或两个以上的素因子。

诠释：公理3和公理4为人们提供了一种判断素数或合数的素因子构造性判别方法。一个自然数若它的素因子是唯一的则是素数，如果素因子是两个或两个以上则是合数。

用素因子个数来判断素数或是合数，特别是那些筛法无法运算的大素数和大合数的判断提供了一个行之有效的简易方法：

例1.设给定数N的不大于根号N内有n个从小到大顺序素数乘积为

△＝【m1m2…mn】，mn1是大于mn的第一个素数，凡小于mn1平方数的任意自然数Ni若满足：

（Ni△）＝1

则Ni一定是新生素数。

证明：Ni满足（Ni△）＝1表明Ni的素因子都不在△中，Ni只可能是两类数，一类是只有一个素因子的大于mn的素数，另一类是所有素因子都大于mn的我们称为＂全大于mn的素因子合数”，这类合数最小的一个“全大于mn的素因子合数”就是mn1平方数了，因此满足（Nl△）＝1的数，只要是小于mn1平方数的自然数一定是只有一个素因子的素数。

证毕！

公理3和公理4协助△应用功能判断小于mn1平方数内除△中素因子外的任意自然数Ni若满足：

（Ni△）＝d（d＞1）

则Ni一定是合数。

证明：（Ni△）＝d（d＞1）表明Ni和△有非“1＂公因子为d，此时只有两种情况发生：

若Ni＝d，因Ni不是△中素因子，则d必为△中两个或两个以上素因子积，d必为合数，Ni也必为合数

若Ni≠d，则只有Ni＞d情况发生，则Ni必有至少一个素因子在d中，也至少还有一个素因子还在Ni中，Ni必为合数。

证毕！

以上是用公理3和公理4对《孙氏素数公式》和《孙氏合数公式》的简易证明。这两个公式当然还有简易明快的证明方法，以后介绍。

公理3和公理4与其他公理配合，还可以在自然数表中批量判断连续合数区，批量判断素数生成列，给人们塑造素数和合数的清淅概念，我们将在公理7中强细介绍。

公理5：基本素因子

大于“1＂的自然数规定有一个最小素因子是这个自然数唯一的基本素因子。

公理6：“素因子”和＂基本素因子”

“素因子＂和“基本素因子”是两个不同的概念。

诠释：从公理1知道，大于“1”的自然数可以写成素因子乘积。素数只有一个素因子，合数就可以写成两个或两个以上素因子乘积。因此我们可以把任意一个合数称为素因子合数。我们将在公理7中给读者介绍：任意一个素数都会以自身数值等距离生成无穷的素因子合数。比如素数“2”生成：1x2，2x2，3x2，4x2…素数“3＂生成：1x3，2x3，3x3，4x3…素数“5＂生成：1x5，2x5，3x5…以此类推任意素数mn生成：1xmn，2xmn，3xmn…每一个素数都会绝对公平绝对合理地把自己的因子等距离分配于自然数始终，这种比人类社会的分配还要理想的制度，是任意一个素数都严格遵守的义务。但是这种“绝对公平制度＂也有它的弊端，因为一个素数生成无穷的素因子合数中，往往会有许多素因子合数会在其它素数生成的素因子合数系统中重复出现，比如“2310＝2x3x5x7x11”，这个数可以同时称为“2、3、5、7、11”五个素数的素因子合数，但这五个素因子合数又同时重合在同一个座标内，为什么我们在做筛法时，有的合数座标会被多次重复划去就是这个道理。这就好比一个人取了若干个名字，在登记户口时不知用哪个名字为好？这就无形中扰乱了自然数的“运行市场秩序”。

为了规范一个素数生成的素因子合数有时会在其它素数生成的素因子合数系统中重复出现的现象，並且把任意一个大于“1＂的自然数都各自纳入它的最小素因子合数系统，我们规定大于＂1”的自然数都取一个且只取一个最小素因子作为这个自然数的唯一基本素因子。一个素数mn生成的基本素因子合数也有无穷多个，这些无穷多个合数的最大特征就是合数的每一个素因子都必须≥mn，只要有一个素因子小于mn，这个合数就不属于mn的基本素因子合数系统了。我们把素数mn生成无穷的基本素因子合数又简称为：“mn生成的基本合数＂。

由此看来，一个素数mn就可生成两套素因子合数系统：一套是mn的倍数是按自然数顺序排列等距离生成的无穷的素因子合数系统，另一套是mn的倍数是按≥mn的素数及其生成的“全大于mn的素因子合数＂按序排列的无穷的基本合数。素数mn生成的基本合数系统实际是mn生成的素因子合数系统的破缺，（也就是一部分）。基本合数系统中mn的倍数是由＂全大于等于mn的素数及其生成的合数＂按由小到大顺序排列的。素因子合数系统中mn的倍数是按自然数顺序排列。一般情况在硏究自然数和素数规律时，只讨论mn的基本合数系统而迴避mn的素因子合数系统，都是为了唯持自然数座标的唯一性。

公理7：△的功能和性质

设△＝【m1m2…mn】是从小到大n个素数的最小公倍数，则△中包含有不相同的n个素数的素因子，最小素因子是‘2＇，最大素因子是mn.

• 诠释：△＝【m1m2…mn】是从小到大n个素数的最小公倍数，也是前n个素数的连乘积。假如我们按自然数顺序：1.2.3.4.5…mn…（△-1）.△一直排列到△位置就得到△个原生自然数，就以△为周期期循环与k△（k＝1.2.3…）组合成以△为公差的△个等差数列无限延伸覆盖一个完整的自然数体系，我们称为＂n级自然数表＂。这样，△还代表了这个“n级自然数表＂的公变周期值，同时还代表了△个等差数列的公共级差。△集诸多功能和性质于一身，它在研究素数分布规律和素数运行秩序，研究素数和合数在自然数中的解体和分流过程中，是一个不可替代的、最关键、最核心、也是最见成效的＂参数值＂，沒有这个参数值的千变万化，人们也就无法观察到素数分布的规律和秩序。

由于△中包含有由小到大的n个素数的素因子，最大素因子是mn，因此，凡是不大于mn的所有素数及其生成的基本合数都与△有非＂1＂公因子，这些数一个不漏地按序与△的倍数k△（k＝1.2.3…）组合的等差数列纵队大集合，就形成了＂n级合数表＂的全部阵容。这个表除原生数外，我们无法再看到一个素数。

又由于大于mn的素数的素因子都不在△中，所以凡大于mn的素数及其生成的基本合数以及“±1＂（“-1”表示＂△-1”）这三类数与△的最大公约数为＂1”，这三类数一个不漏地按序与△的倍数k△（k＝1.2.3…）组合的等差数列纵队大集合，因每个数列都有无穷个素数生成，我们把这个集合称为＂n级素数表＂。△具有把一个完整的自然数体系分离为“素数生成区＂和＂合数生成区＂的能力和特殊本领。

△的等级越低，“n级合数表＂的规模就越小，“n级素数表＂就会处于一种素数和合数混杂的混沌状态。假设我们持续不断地提升△的等级n，mn的数值就会越来越大，“n级合数表＂的规模就会越来越宽广，“n级素数表”的素性就会越来越高：，因为n值的提升是沒有止境的，这种发展趋势也没有止境。持续提升△的等级n（即增加△中素因子个数）的必然结局，人类终归会获得一个规模说要多大就有多大的“n级合数表”系列，也必然会获得一个素性纯洁度无限趋于100％的“n级素数表”系列。这就是“全合数表”系列和＂全素数表”系列的由来。我们用计算机试验结果也表明：当n＝100亿时，mn＝F291（这里F＝1117869524）我们就可以排列出一个“百亿级全素数表＂来，这就说明了＂全素数表系列”在自然数中的确是一个真实的客观存在。

人们不禁要问：＂全素数表系列”为什么会出现＂看不到合数＂的奇特现象？那些大于mn的素数生成“无穷的基本合数＂都跑到哪儿去了？这种似乎与＂素数生成无穷的基本合数＂的公理化结论自相矛盾，但实际上並不矛盾。是一种人们表面看似悖论，但实际又並不是悖论的正常客观现象。因为在＂全素数表”中排列的都是大于或相当于13位的大素数，这些大于mn的大素数生成的基本合数最小的一个就是25位数的＂mn1平方数”，其他无穷的基本合数也稀疏得人们无法看到它们的身影。这就好像在一根无限延伸的跑道上植树，假如每过100亿公里才植一棵树，从理论上来讲我们也可以栽无穷棵树，但人们却无法看到这＂无穷棵树＂的存在。这就是我们在“全素数表”中无法看到无穷的基本合数的原因。为了把这个问题讲的更透彻更清楚，我们将在公理8中举出实例作出详尽的解释和证明。

△＝【m1m2…mn】的等级n的变化和持续提高，是促使自然数中素数和合数解体和分流的“催化剂＂，当△的等级n超过一定数域后，△就能促成自然数体系实现素数和合数几乎100％的全面解体和分流。△在自然数体系这个由量变到质变天翻地覆的分离转化过程中，至始至终扮演了一台＂大型数据制造机”的角色，人们只要源源不断地把自然数输入这台“制造机＂，这台“制造机＂就会把不大于mn的全体素数一个不漏地源源不断的生产出一个“n级合数表＂出来。同时，这台制造机还能把大于mn的素数及“±1＂一个不漏地源源不断的生产出一个＂n级素数表”出来。当这台机器的等级提高超过一定数域，输送出来的表竟然是两个趋于100％的＂全素数表＂和“全合数表”。

△更象埃拉托塞尼筛法的一个巨大的＂筛子＂，它不仅仅在“给定数值N内筛除合数，获得了N内全体素数”，而且还把N内N外贯通于自然数始终无穷无尽的素因子合数一扫而光，连根拨掉，使人类看到了N外素数无穷无尽的生成原理。当△这个“大筛子”中素数个数持续增加超过一定数域（比如n≥100亿）后，这个大筛子筛出来的自然数竟是一个无限趋于100％的“全素数表”。

△值的千变万化成就了自然数中素数和合数解体和分流的伟大变革，实现了数学家高斯关于“在自然数中把素数和合数鉴别开来“的生前愿望。

△这个参数值在“全素数表”理论中的应用十分广泛而强大，它在构造和证明“孙氏素数公式＂“永恒的孪生素数统计公式＂，双生、三生、四生…n生素数公式，素数极限公式群…在证明哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等数论难题中都起到了核心的、不可替代的重要作用。

公理8：素数生成合数。

素数生成合数。任意一个素数mn（n≥1）都会以自身数值等距离生成无穷的素因子合数，组合成一个素因子合数系统，均匀分布在自然数中的密度是1／mn。

诠释：“素数生成合数＂，这条公理是人们每天都看得见、模得着的一种普遍客观规律。比如小学生每天背的“乘法九九表”就包含有素数生成合数的原理。又比如素数“2”以自身数值等距离生成＂2”的全体倍数构成无穷的偶数在自然数中的密度是1／2，素数“3＂以自身数值等距离生成“3”的无穷倍数在自然数中的密度是1／3，素数＂5＂以自身数值等距离生成“5＂的无穷倍数在自然数中的密度是1／5…以此类推素数mn以自身数值等距离生成mn的无穷倍数在自然数中的密度是1／mn。由此可以推论，当mn超过一定数域后，mn生成无穷的素因子合数在自然数中的分布密度无限趋于零。

前面我们说过，一个素数生成无穷的素因子合数，往往会在其它素数生成的素因子合数系统中重复出现，因此我们在讨论素数生成合数的过程中，往往就只讨论素数为最小素因子构造的基本素因子合数系统，简称为“素数生成的基本合数系统”。显而易见，一个素数生成的“基本合数系统＂是这个素数生成的“素因子合数系统＂的破缺（即是一部分）。当素数mn生成的＂素因子合数系统”分布密度趋于零时，素数mn生成的＂基本合数系统＂的分布密度早已提前趋于零了。但是一个素数生成的基本合数系统在自然数中的分布密度，目前还找不到一个公式表达出来。

根据素数的＂素因子合数系统＂和“基本合数系统＂的生成原理我们总结出一个可以颠覆传统数论科学体系的重大结论称为“素数素因子合数分布律＂如下：

素数素因子合数分布律

规律1.

素数越小生成的“素因子合数系统＂（或＂基本合数系统”）在自然数中的分布越密集，素数越大生成的“素因子合数系统＂（或＂基本合数系统”）在自然数中分布越稀疏，且越大越稀疏。

规律2.

第n个素数mn生成的“素因子合数系统”在自然数中的分布密度是：

dn＝1／mn。

规律3.

第n个素数mn生成的“基本合数系统＂在自然数中的分布密度小于1／mn。

我们若按“素数素因子合数分布律＂来分析自然数中素数和合数的分布密度，就会在自然数中观察到一个奇持而令人惊讶不已的素数排列现象。

我们设想：自然数是由无穷个素数生成无穷个基本合数系统加上“0＂和“1”构成的。假设我们以从小到大的第n个素数mn为＂分水岭＂，把全体素数分为两类，一类是不大于mn的n个中小素数，另一类是大于mn的无穷素数。本例是假设n＝100亿时，我们可用“孙氏素数公式’或查表得出：

mn＝1117869524291＝F291

（此处F＝1117869524）

假设我们把不大于mn的100亿个中小素数生成的100亿个基本合数系统从自然数中通通“挖掉＂（或说“筛除”），连根拨掉，我们考虑，自然数中到底还剩下什么数？

公理8和＂素数基本合数分布律＂告诉我们：任意一个素数都会生成无穷的基本合数组成一个“基本合数系统”，100亿个素数就会生成100亿个“基本合数系统＂，我们把100亿个素数生成100亿个基本合数系统通通从自然数中排除了，且连根拨掉，自然数中就不再存在有100亿个素数生成的基本合数了，自然数中也不会再出现100亿个素数的素因子了。此时余留下来的自然数只存在有三种数：第一种数是“1＂，第二种数是大于mn＝F291的素数（有无穷多）第三种数是大于F291的素数生成无穷个基本合数系统。第一种数只出现一次就不会再有了，第二种数是大于F291的素数往无穷方向延伸，第三种数是大于F291的无穷个素数生成的无穷个基本合数系统。根据“素数素因子合数分布律＂，由于每个大于F291的素数都是13位或以上大素数，因每个大素数生成的基本合数系统在自然数中的分布密度都趋于零，因此人们看到的是大于F291的顺序素数往无穷方向延伸，那些大于F291素数生成无穷的基本合数都非常稀疏地分布到遥远的天涯海角去了，人们看到的竞然只是一个无限延伸的顺序素数表。

下面我们来具体考察和分析，在自然数中排除100亿个素数生成的100亿个基本合数系统后，余留下来的自然数中素数和合数的排列分布情况：

表3是余留自然数因为看不到大于F291的素数生成的无穷基本合数，而只看到大于F291的顺序素数向无穷方向延伸趋势：

表3

在自然数中排除100亿个素数生成的基本合数系统后余留自然数表：

1.F293.F351.F381.F411.F417.

F477.F491.F503.F521.F539.

F549…合数1…合数2…合数3…合数4…合数N…无穷…

表2排列的第一个数是“1＂，第二个数是F293，是大于F291的第一个素数。从F293起，后面排列的连续紧连的数是一个按普通表格排列也还长达2亿亿多公里的顺序素数表，我们不会看到一个合数。这个顺序素数表从13位数的F293起，一直按顺序素数排列到长达25位数的“F293平方数”止，人们才会看到一个大于F291的素数生成的最小的一个基本合数，为什么2亿亿多公里长的顺序素数表都不会产生一个合数呢？那些两两紧邻顺序素数间隙处的合数都跑到哪里去了？还有无穷个大于F291的素数生成无穷的基本合数都跑到哪里去了？

读者务必注意，表2中产生的合数，都是大于F291素数生成的基本合数，这类合数的本质特征是：所有的素因子都大于F291。而在表2中能夠满足这个条件的合数，要从13位数的F293起，按从小到大顺序素数排列到25位的素数以后才能产生唯一的一个满足条件的最小合数，这个合数就是25位数的＂F293平方数”。在这个能满足条件的最小合数出现之前，表2内、表2外均不会存在“所有素因子都大于F291”这类合数。因此，表2中两两素数间隙处所有合数的素因子组合均不能满足“全大于F291”这个条件，而一定存在有“不大于F291的素因子”，只要存在有一个不大于F291的素因子，这些合数，就会被前面假设100亿个素数生成的基本合数通通给排除了，这就是表2中大于F291的顺序素数能夠延伸2亿亿多公里也不会产生一个合数的原因和理由。

上述结论还可以用埃氏筛法理论同样获得。

表2中大于F291的顺序素数延伸到25位数的第一个最小合数后並不会终止，而是按顺序素数继续往无穷方向延伸到合数2…合数3…合数4…合数N…这个无穷无尽的沒有止境的顺序素数表，被大于F291的素数生成的无穷个基本合数分割为无穷个区段，每个区段都是一个长度令人作舌的顺序素数表，两两相邻合数的自然座标差，就是这个区段顺序素数表的自然长度，可以近似确定这个区段的素数个数。若把这些区段顺序素数不是按自然座标差，而是按素数普通表格排列，有的长达数十万公里、数百万、数千万…甚至数亿亿公里不等，这样稀疏的合数分部密度，不论我们选择哪个区段来计算，合数分布密度都是一个趋于零的比值。

下面我们把大于F291的顺序素数生成的前几个基本合数按从小到大排列的自然座标差计算出来，看看那些＂基本合数”到底稀疏到什么程度了？

（1）F291与第一个合数间隔的自然座标差：

F293平方数-F291＝1249632273341940247625558（25位）

（2）合数1与合数2自然座标差：

F293xF351-F293平方数＝

64836432408994（14位〉

（3）合数2与合数3自然座标差：

F351×F351-F293xF351＝

64836432412358（14位）

（4）合数3与合数4自然座标差：

F351×F371-F351×F351＝

22357390487020（14位）

（5）合数4与合数5自然座标差：

F371×F371-F351×F371=

22357390487420（14位）

……按上面方法持续不断地往下计算，那些不大于F291素数的素因子一个都不可能窜进来，（因为被我们的＂假设”通通排除了）。那些大于F291的素数生成的基本合数由小到大按序排列一个也漏不掉。无论我们算到天涯海角，算到环绕地球宇宙，计算两两相邻合数的座标差，除了少数出现＂反弹”（降低）外，总的趋势是向着越来越宽的方向发展。因为两两相邻合数的座标差与两两相邻素数的座标差有关，而两两相邻素数的座标差在自然数中总的趋势是向着越来越大方向发展，因此大于F291的素数生成的基本合数在自然数中分布也会越来越稀。密度越来越向零靠拢。

假如我们把以上计算结果作一个保守性的换算：按每1000个自然座标产生一个素数，每个素数在表格中排列长度为2㎝，每公里＝100000㎝，上面计算得到各个区段顺序素数按普通表格排列的长度分别是：第一区段略长2亿亿多公里，第二、三区段略长1296728公里，第四、五区段略长447146公里。这样长的顺序素数表令人嘡目结舌，难以置信。如此稀疏的合数分布，人们即使炼就了一双孙悟空的火眼金睛，也难以观察到它们的存在。

假如人们要想在各个区段获取更大更长的顺序素数表和更为稀疏的合数分布密度，我们只须把排除100亿个素数生成基本合数系统提升到千亿、万亿…或更高，人们获得的自然数的素数分布密度就越来越趋于100％，人类终会获得一个无限趋于100％的素数世界。

为什么历代数论学家不断地改进和创新筛法，把筛法应用到极至到达光輝的顶点，但还是找不到无穷的素数，反而看到的是“素数越来越稀，越来越少＂的景象？原因其实很简单，因为数学家们是在“给定自然数N内排除N内合数，获得有限的N内素数”。我们是在一个完整的自然数体系中排除素数生成的无穷合数且连根拨掉，使余留大素数生成无穷合数分布密度趋于零，因而就获得了无限延伸的素数。

以上实验数据证实：在自然数中只要排除了足夠量（比如n≥100亿）的前n个素数生成的n个基本合数系统后，余留的大于mn的无穷个素数生成的无穷个基本合数系统的分布密度整体进入无限趋于零的状态而实现了几乎100％的大于mn的顺序素数表往无穷方向延伸。

以上我们用客观存在的钢铁般坚硬的事实和强有力的计算数据分析，粉碎了传统数论总认为自然数的深处是＂素数越来越稀、越来越少，素数出现的概率为零”的谬论，证明了自然数的深处是一个几乎完完全全的素数世界。

但是如何把自然数深远处无穷的顺序素数一个不漏地挖掘出来？如何把前n个素数生成的n个基本合数系统的排列模式一个不漏地向世人展示？如何把深埋在“大海深处”的孪生、双生、三生、四生、五生……N生素数无穷无尽的生成模式从此大白于天下？如何把任意大的素数间隙、任意宽广的连续合数区、任意长的素数等差数列、无穷无尽的素数生成原理……几千年积淀的＂素数问题＂找到具有说服力的答案，得到彻底满意的解决？要解决这些问题，我们还得依賴公理7：△的应用功能和性性质以及公理9：素数是怎样计算出来的原理和方法。以下我们继续向读者诠释公理9：素数生成素数。

公理9：素数生成素数。

素数生成素数。从“2”和＂3”出发，用两个最小素数可推出＂5”的平方数＝25以内的顺序素数。用＂2”“3”＂5”三个素数可推出“7”的平方数＝49以内的顺序素数…以此类推，用n个素数可推出第（n＋1）个素数平方数内所有顺序素数，这种递推趋势沒有止境。

诠释：历史上，人类要想获得自然数中不超过N的素数，都是沿用埃式筛法或改进后的埃式筛法，要逐一筛去不超过根号N的所有素数倍数，从而获得的不超过N的所有素数。埃氏筛法原理沿用几千年讫立不倒，具有很强大的科学生命力，为世人所公认。然而它那古老复杂、重复繁琐的运算操作程序，长时期限制了人类对无穷超级大素数的探索。自埃氏筛法使用u以来，历代数论学家尽管对筛法作了无数次改进和创新，但人们无法把筛法理论转化为一个公式，无法通过一个公式一次性计算获得素数结果。人们无法从根本上简化筛法程序。比如说我们要判断一个100位数的自然数N是否为素数，假如不超过根号N内有100个素数，人们还得用100个素数分别去试除N，才能得到结果，少除一次就可能使判断失误。如此繁复的运算程序困扰了人类思维长达两千多年，可以说是素数研究史中一大憾事。

公理9：“素数生成素数＂的方法是用由小到大的n个素数递推出第（n＋1）个素数平方数内的顺序素数，这种算法实际上是筛法的逆反思维计算。为什么公理9不按照筛法的正向思维计算，而采用筛法的逆反思维计算呢？主要有两个原因：一是数学家们沿用筛法两千多年，无法把筛法理论转化为一个公式一次计算出结果。二是筛法在不超过自然数N内筛去不超过根号N内所有素数倍数获得N内素数，但是根号N内素数从何而来？筛法中並未作出交待。为了弥补猜法的两个不足，我们从最元始的两个最小素数＂2”和“3”出发，就可以推出＂5＂的平方数＝25以内的顺序素数，用＂2＂＂3＂“5＂三个素数就可以推出7的平方数＝49以内的顺序素数…以此类推用从小到大n个素数就可以推出第（n＋1）个素数平方数内的顺序素数，这就从理论上递推出说要多大就有多大、说要多长就有多长的顺序素数表来。

但是如何把这些顺序素数的获得，能夠纳入一个简明的计算公式表达出来？根据公理7假设由小到大n个素数最小公倍数△＝【m1m2…mn】中包含有n个素数的素因子，任意自然数N若满足（N△）＝1（即N、△最大公约数为“1”）就表明△中的n个素因子都除不尽N，这个算式实际上就代表了传统筛法中分别要用n个素数去试除N的n个计算步骤，是用一个乘法算式代替n个除法步骤的逆反思维计算。这样我们就解决了历代数论学家2300多年来无法把筛法理论转化为一个公式计算的特大难题。为区别于其他公式，我们把这个公式取名为《孙氏素数公式》，证明如下：

设△＝【m1m2…mn】是从小到大n个素数的连乘积，mn1是大于mn的第一个素数，凡小于mn1平方数的任意自然数N若满足：

（N△）＝1

则N一定是新生素数。

证明：由于△＝【m1m2…mn】中包含有n个素数的素因子，小于mn1平方数的任意自然数N若满足（N△）＝1，即N、△最大公约数为＂1”，表明△中任意一个素因子都除不尽N。根据素数定义，N可能是大于mn的素数或者是大于mn素数生成的基本合数。但大于mn素数生成的基本合数最小的一个就是mn1平方数，N只能是素数无疑。

证毕。

在上面公式计算中，若N不是△中素因子，假如出现

（N△）≠1的情况，则N一定是合数，这样我们又导出自然数中的合数公式，证明如下：

证明：上例中如果（N△）≠1，必有（N△）＝d（d＞1），只有两种情况发生：

（1）若N＝d，因N不是△中素因子，N、d必然是△中两个或两个以上素因子积，N必是合数。

（2）若N＞d，则N至少有一个素因子在△或d中，至少还有另一个素因子在N中，N也必是合数。

证毕。

公理9推出的素数公式和合数公式，是从人人都知道的最小素数“2”和“3”出发，由小到大一步步推出说要多大就有多大，说要多长就有多长的顺序素数表来，从理论上来讲是完全正确的。但在实际操作过程中，无论多么强大的计算机，总会遭遇算力不足的情况，此时我们可以把计算机无法操作的△值分割为：

△＝△1＋△2＋△3＋…＋△k（一直计算到△k中最大素因子mn1平方数＞N，假如：

（N△1）＝（N△2）＝（N△3）…＝（N△k）＝1

则N无论有多大必为素数。

这是一个永无止境的递推计算过程。

以上我们是用N、△的最大公约数是否为“1”的方法去判断自然数中的素数和合数，代替了传统筛法中必须用根号N内的n个素数分别去试除N的n个计算步骤，不但大大地简化了筛法理论的计算步骤和程序，而且还强有力的挑战了＂黎曼猜想＂和“素数定理”的终极目标和结论。

黎曼当年递交给德国科学院的论文是：“论给定数值的素数个数”，＂素数定理＂证明的目标也与“黎曼猜想＂大同小异，都是在找不到素数座标的前提下退而求其次的搜索N内素数个数的一种算法。而“孙氏素数公式＂不但直截了当地解决了“给定数值N内的素数座标问题，同时推导出了N外素数无穷无尽的生成原理。一个不漏地把不超过N的顺序素数表计算出来，给定数值“素数个数＂问题也就迎刃而解了。与此同时公理9推出的“素数公式＂还可转化为＂合数公式”在给定数值N内把素数座标和合数座标一个不漏地区别开来，实现素数和合数的解体和分流，在给定数值内进行素数判定和合数分解。这些在数论科学史中无法解决的问题，也是黎曼猜想和素数定理难以实现的目标。

为什么人类二干多年都无法攻破“素数问题”？为什么那些困扰人类的＂素数问题”及其引发出来的名目繁多的猜想会越来越多？长时期不能解决？虽然人们也能找出很多理由来解釋和说明“素数问题”堆积越来越多的历史原因，其实归结起来总的根源只有一条：那就是数学家们无法找到一个素数生成模式把无穷无尽的素数表达出来，无法在自然数中象获得奇数或偶数那样获取无穷无尽的素数。只要圆满地解决了这个问题，那些困扰人类几千年的＂素数问题’和久攻不克的猜想就会全盘性崩溃和瓦解。这是当代数学家们都默认和熟知的道理。因此历代数论学家都期盼能发现一个“素数通用表达式”，也就是能夠找到一个仅仅产生素数的公式，可以一个不漏地产生所有素数，並且对每个输入的值，其产生的结果都是素数。因为顺序素数的个数都是可数的，我们只要求得＂给定数值的顺序素数＂，黎曼猜想“论给定数值的素数个数”也就不再是一个问题了。然而数学家们经过数千年的艰辛探索，始终无法找到一个素数公式把自然数中的素数和合数表示出来。国际数学届在公佈世界千禧年数学难题时，无可奈何地向世人公佈一个並不乐观的结论：＂素数分佈不遵循任何规则和模式”。人类对素数的认识仍沉缅于杂乱无序的混沌状态，寻找素数公式的美梦终成一场泡影。

然而，公理9推出的表达为“（N△）＝1，N＜mn1平方数”的《孙氏素数公式》是一个完全满足数学家们企盼“素数通用表达式”的一切性质和功能。这个公式具有筛法理论逆反思维计算无可非议的简化程序和方法原理，它从大本大源的自然数排列中取得了令人信服的客观现实结论，它具有十分简捷而优美的素数表达形式，又具有非常完备齐全强大的使用功能。它从人人熟知的最小素数“2＂和“3”出发，一步步推出越来越长、越来越大的顺序素数表，直推到计算机无力操作时，它还可以将参数△分离为k个步骤分步完成，实现计算目标。当△等级超过一定数域（比如n≥100亿）后，这个公式就可一步登天地证明：排除了△中n个素数生成无穷合数后，自然数的深远处原来是一个趋于100％的无穷无尽的素数世界，是一个横平竖直、齐整有序的趋于100％的“全素数表系列”。

“孙氏素数公式＂一步步推出了这个石破天惊的数学结果，颠覆了传统数论科学的历史结论，也颠覆了人类对素数的传统认知。

下面我们向读者简介这个公式如何运用计算机算法原理从小到大、由少到多，从最小素数出发，一步步递推出一个趋于100％的素数世界，实现＂全素数表系列＂的宏伟目标。

首先我们需要编辑一个计算△值与任意自然数N的最大公约数的软件。假若你是一个並不懂得什么数是素数的读者，但你只要掌握计算机软件的运算操作程序，你就会像超市卖菜大妈用手机收付款那样用计算机机械性操作，从人人都知道的“2”和“3”出发推出“5＂的平方数＝25以内的顺序素数，用“2＂＂3＂＂5”三个素数推出“7”的平方数＝49以内的顺序素数…以此类推，用从小到大的n个素数推出第（n＋1）个素数平方数内的顺序素数。你无须查表，也无须验证，只要从计算机输出来的满足（N△）＝1，N＜mn1平方数的数一定是100％的素数。按此方法往下计算，你只须把末尾数字为＂1，3，7，9＂的自然数输入计算机中，就可以递推出越来越大、越来越长的顺序素数表来。

当△值越来越大，你的计算机算力受限无法操作时，你可以把△值分离为k个计算步骤，若每个步骤都满足（N△k）＝1，则N一定是素数。这样你还是可以推出更大更长的顺序素数表来。

当△的等级n越来越高超过一定数域（比如n≥100亿）后，由于△＝【m1m2…mn】中的mn也越来越大，根据公理8，大于mn的素数生成的基本合数分布密度整体进入趋于零的状态，此时表达为（N△）＝1，N＜mn1平方数的“孙氏素数公式＂，就可以去掉N＜mn1平方数这个条件，而将公式结论转化为：“凡满足（N△）＝1的数几乎都是素数＂。换句话说就是：“凡是素因子不在△中的自然数几乎都是素数＂。

那么自然数中有哪些数的素因子都不在△中呢？只有三种数：第一种是“±1”（此处“-1”表示“△-1”）第二种数是大于mn的素数。第三种数是大于mn素数生成的基本合数（此种合数的密度已趋于零）。这三种数按序与△的倍数k△〈k＝1.2.3…）组合的等差数列纵隊的大集合就是一个横平竖直、齐整有序趋于100％的“全素数表”，一个不漏的包含了大于mn的全体素数。

＂全素数表”的等级可以无限提高，因此＂全素数表＂的素性也是无限趋于

100％。

总结：“孙氏素数九大公理”从欧几里得“算术基本公理”出发，根据“素数是构成自然数的基本材料＂的公理化结论和由小到大的n个素数可推出第（n＋1）个素数平方数内的顺序素数的筛法逆反思维计算原理，推出了“素数生成素数，素数生成合数和自然数的素数公理化系统，取得了历代数论学家苦苦探索了二千多年都无法得到的素数公式、定理和结论。历史将无情的证明：历代数论学家痴迷于“给定数值有多少个素数？＂的探索，是一条永远看不到“胜利曙光＂的研究路线，作者再次规劝世人，特别是年轻的莘莘学子，不要把你们一生的青春年华和聪明才智葬送在这个不可能获得稳定计算结果、对素数研究又没有多大价值的课题中。因为混沌的自然数N内並不是产生素数的源头，是素数生成了所有的自然数，而不是自然数N内会产生多少素数？素数才是产生自然数的源头，没有素数也就沒有合数和自然数。数学家们把素数生成的方向弄颠倒了。

人们不禁要问：素数从哪里来？它要到什么地方去？它要去做什么？

公理8为我们证实了，任意一个素数，无论它有多大？都是从最小素数“2”和“3”起算，一步步推到越来越大的素数。每个素数在自然数的繁衍生息中都发挥了承上启下、不可替代功能和作用，我们对任意一个素数生成合数和素数的功能原理作如下归纳总结来回答上面提出的问题：

任意一个素数mn从它降生于大自然之时起，就肩负着两项历史重任：一是把它的因子以自身数值等距离绝对公平、绝对合理的分配在自然数这块“土地”上，生成无穷的素因子合数，在自然数中的分布密度是

1／mn。素数mn的另一项历史重任是：联合比它小的所有兄弟素数，构建n个素数的公变周期△＝【m1m2…mn】以△为周期循环，反复无穷地一个不漏的生产大于mn的全体素数，其中在mn1（大于mn的第一个素数）平方数内生产100％的顺序素数。上述两项历史重任是任意一个素数必须拟行的应尽义务。正是每个素数都肩负着这两项历史重任，维持了素数和合数的永生，也维持了自然数的永生。

亲爱的读者朋友：你只要弄清每一个素数是怎样生成无穷合数的？又是怎样生成无穷素数的原理和方法？你就能推出数学家苦寻二千多年都无法找到的＂素数普遍公式”。有了这个公式你就能推出越来越大、越来越长的顺序素数表来，还能推出一个横平竖直、齐整有序的无限趋于100％的＂全素数表系列”，你就能破解困扰人类几百上千年遗留下来的“素数问题”和无穷的“猜想＂，成为攻克世界难题的高手和勇士！此话当真，决无戏言！