义务教育教科书 · 数学(青岛版)四年级上册
《神奇的图形 — — 密铺》教学设计
【教学目标】
1.通过观察密铺现象，初步理解密铺的含义，知道什么是平面图 形的密铺；通过动手实践与推理，探索密铺的特点，认识一些可以密
铺的平面图形。
2.通过猜想、操作等活动发展学生的质疑能力、空间想象能力、 逻辑推理和动手实践能力，能运用几种图形进行简单的密铺设计。
3.通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，经历欣赏数学美、 创造数学美的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，享受由美带来的
愉悦。
【教学重点】 认识密铺，通过动手实践与转化推理，了解哪些图 形可以进行密铺，哪些不能密铺，在讨论与研究中初步了解图形能够
密铺的道理。
【教学难点】 探究图形密铺的规律，尝试设计简单的密铺图案。
【教具学具准备】 白板课件、AR软件、密铺操作方格纸、长方形、 正方形、平行四边形、梯形、三角形、正六边形、正五边形、圆形学
具片若干、学生密铺创作图形卡片若干。
【教学过程】
一、课前游戏，激发兴趣
教师出示一幅特殊的七巧板，学生观察，猜一猜能拼成什么图形，
并请同学动手拼一拼。
今天我们要探究的内容就藏在这匹飞马中。
【设计意图：利用 一幅特殊的七巧板，激发孩子的学习兴趣。通 过观察七巧板的构造，并动手拼一拼，经历由猜想到验证的过程，为 后续探究密铺原理埋下伏笔。】
二、 飞马引入，了解密铺
1.教师课件演示由一匹匹飞马拼接而
成的飞马图。学生说一说观察到的现象和
想法。
2.师：数学上我们把用形状、大小完全相同的图形，既无空隙又 不重叠地铺在一个平面上，就叫密铺。飞马图就是一幅密铺作品。咱
们今天就来研究奇妙的图形密铺。
【设计意图：从一个有趣的现象开始，引导学生探究想象图形形 成的原因，提出学习的驱动问题，引出学习的内容。】
三、 小组合作，探究单独密铺
1.经历猜想
出示平面图形——正方形、长方形、平行 正方形 长方彤 平行四边形 梯形
四边形、梯形、三角形、正五边形、正六边形、
圆形。
师：学过的平面图形中，哪些图形可以像刚才一样密铺?
组织学生猜想。
2.动手验证
师：光有想法是不行的，接下来咱们动手验证一下。
出示操作要求：
|
(1)拼一拼。 选择你们想要验证的图形，拼一拼，验证图形是否可以密铺。 (2)想一想。 边操作，边思考，密铺可能跟什么有关。 |
小组合作，动手操作验证。
3.交流汇报
生交流验证结果。
在探究交流过程中追问：能不能用更少的梯形来说明梯形可以密
铺呢?引发学生深入思考。
师：三角形呢?
师：两个完全相同的梯形、三角形可以转化成平行四边形，由于
平行四边形可以单独密铺，推理出梯形、三角形也可以单独密铺。渗
透转化的数学方法和推理的数学思想。
小结：正方形、长方形、平行四边形、梯形、三角形、正六边形 可以像刚才一样密铺，正五边形和圆不能像刚才一样密铺。
【设计意图：这一环节让学生经历由“猜想”到“验证”、“交流” 的全过程，学生在验证平行四边形可以密铺的基础上利用转化推理说
明梯形、三角形也可以密铺。在探究的过程中渗透抽象、推理、转化 等数学思想。】
4.揭示本质
继续启发：仔细观察这些能密铺的和不
能密铺的图形，深入思考，图形能否密铺可能
和什么有关?
学生结合课件出示的可以密铺的图形和
不可以密铺的图形，进一步思考和交流。
小结：当拼在同一个点的各个角围成周角，这个图形就能密铺，
这就是图形密铺的秘密。
【设计意图：探究图形密铺的规律是本节课的重点也是难点。通 过课件观察引导学生发现简单现象背后的“数学本质”,不仅知道哪些 图形可以密铺，而且知道能否密铺的小秘密，激发学生的问题意识。】
四、 探究四边形、五边形密铺
活动一：任意的四边形都能密铺吗?
1.类比提问：正方形、长方形、平行四边形和梯形这样特殊的四 边形可以密铺，是不是任意的四边形都能密铺?
2.学生猜测预设：有的说不一定，有的说也许可以。
3.借助操作，继续求证。学生在密铺操作方格纸上画一个任意的 四边形，想一想，这个图形能密铺吗?
4.技术验证，反馈结果。
现场直接扫描学生所画的图形，教师组织用AR技术检验结果。
小结：任意四边形都可以实现拼在同一个点的各个角围成周角，
所以可以密铺。
活动二：所有的五边形都不能密铺吗?
师：正五边形不能单独密铺，是不是所有的五
边形都不能密铺?
学生猜测：连正五边形都不可以单独密铺，
一般的更行了。
教师出示小房子五边形，电脑演示可以单独密铺的过程。
拓宽视野：目前为止，我们只发现了15种可以密铺的五边形，鼓 励同学们继续发现第16种、第17种......
4
【设计意图：学生从猜想验证正方形、长方形、平行四边形和梯 形这样特殊的四边形可以密铺，到借助AR技术连接“真实”和“虚 拟”,有了技术的支持，让“任意”变得很“任意”了。得出任意的四 边形都可以密铺，实现了从特殊到一般猜想依然成立的验证过程。由 正五边形不能密铺，学生很容易通过类比得出猜想： 一般的五边形更 不能密铺了。但意外的是五边形中却有可以密铺的图形。“特殊”中还 有“特殊”。这种学习经历对于学生来说是宝贵的，不一样的现象冲击 着学生的思维定式，促使学生在解决问题的过程中时刻保持批判性思 维的良好习惯。】
五、 深入探究，认识组合密铺
活动一：认识组合密铺
刚才我们探究的这些图形，都是一种图形的密铺，这种密铺是单 独密铺。
1.提问：正五边形不能单独密铺，那是不是就不能密铺了呢?
预设：学生可能想到用平行四边形填补空
隙，创造出大艺术家丢勒的作品。
2.介绍组合密铺：当一种图形不能单独密
丢 勒
铺时，可以通过其他图形填补空隙，实现组合密铺。
师：圆形能实现密铺吗?
学生想到用图形填补，创造出属于鲁峰小学四年级
一班孩子的作品。
活动二：应用密铺，创造美丽
1.出示组合密铺创作出来的美丽作品，激发学生创作的欲望，继 续引发想象，这些图形能不能继续密铺下去。学生进一步体会密铺是 可以在平面上无限密铺下去的，并带着这种意识，开启创作。
2.小组合作，至少选择两种不同的图形，组合密铺，创作一幅具 有独特美感的作品。完成作品后，对照评价量规，进行自评。
密铺作品评价量规
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评价内容 评价标准 自 评 |
互评 |
||
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密铺图形 |
能用形状、大小完 全相同的基本图形进行 ☆☆☆ 密铺设计。 |
☆☆☆ |
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拼贴工艺 |
图形拼贴美观，布 局合理 。 |
☆☆☆ |
☆☆☆ |
|
分工合作 |
小组之间有分工， 化人化户龙化0 |
☆☆☆ |
☆☆☆ |
能 □ F元 从1 F
3.展示评价。选取精美作品进行展示，其他孩子对照评价量规评价
作品。
【设计意图：评价量规表从知识、技能、合作三个维度对学生的 作品进行评价。将其前置，是想让学生明确任务层次和要求，以便更 有目的地开展活动，也有利于学生完成作品后及时自我评价和修正。】
六、 了解不规则图形密铺
1.*放播**视频，学生了解由规则图形进行平移、旋转变化，就可以
创作出新的密铺图案，从而实现不规则图形的密铺，并感受到密铺的
美。
2.前后呼应，思考飞马能密铺的原因。
【设计意图：在介绍不规则图形密铺的过程中，引导学生发现， 这些图形实际上是一些可以密铺的图形变换而来的。在这一过程中， 自然渗透了“转化”的数学思想，也促使学生用数学的眼光来观察数 学现象，透过“好看”的现象看到本质——密铺的原因。】
七、欣赏拓展，感悟数学美
1.艺术欣赏，文化渗透。
飞马图是荷兰艺术家埃舍尔的作品，他在密
铺领域颇有造诣，让我们一起来认识一下他。
出示埃舍尔简介及部分作品图片进行欣赏，感
悟数学美。
2.生活欣赏，感悟其美。
*放播**视频，欣赏生活中密铺的应用，感悟数学
与生活的联系，感受数学与艺术的完美结合。
【设计意图：通过展示荷兰艺术家、数学家埃舍尔的密铺艺术作 品，让学生在欣赏图画的过程中感受到密铺的奇妙和美丽，感受数学 与艺术的密切联系。培养学生用数学的眼光观察现实，用数学思维思
考现实世界的能力。】
八、 回顾反思，全课总结
1.谈话：课进行到这里，说说自己的收获。
2.作业：尝试用不规则图形进行密铺，为班级文化墙设计一幅漂
亮的密铺作品。
【设计意图：培养学生自我反思、总结概括的好习惯，激发学生
创造美好生活的情感。】
【板书设计】
奇妙的图形密铺
无空隙 不 重 叠
组合密铺
单独密铺
转化 推理
规则图形密铺 不规则图形密铺