数理解易理
——系列讲座第二章
王俊龙
一、引言
管理员，各位同道：大家好！
这个系列讲座的题目是：数理解易理。《周易》与数学有关吗？非常相关。我本人正是借助于数学才对《周易》的卦象和思想内涵有所认知。
《人论》作者卡西尔说：“人是符号动物。”或者说，人是使用符号的动物。
笛卡尔说：“我思，故我在。”人类思考问题或表达思想离不开符号，包括人类的形体语言也属于符号的范围。符号大致分为抽象符号和象形符号两种。我们熟知的数字符号是抽象符号，汉字则属于象形文字。
符号既是人类的发明也是人类的认知工具。
数是人类认知世界的最基本、最通用的符号。数学是人类最有用、最得意的认知工具，因为，数学被誉为人类智慧的荣耀。
如果大家对《周易》有正确的认知而不是随便的了解，就必须借助于数学工具去接近它，从而才有可能听懂它叙述了什么，进而了解它的真实的来历和留传于世的特别使命。
我们将要用到的数学工具不是已有的任何数学工具，而是本人在长期研究《周易》卦象的过程中新发现的逻辑代数，叫太极代数和广义太极代数，前者只有四个元素：0、－0、1和－1，后者建立在整个实数系上。由于新代数是由我发现的，已有好几位学者建议称之为俊龙代数。我现在写论文或写微信有时也称俊龙代数，同时注明太极代数，这是为了使新的叫法与原有的叫法的所指保持同一性。因为时间限制，今天主要讲讲发现俊龙代数（太极代数）的数学价值及其意义。
今天的讲座主要有四方面内容：一是大致回顾一下上次的讲座内容；二是讲一下《易传》作者是如何强调卦象对于认知的必要性和重要性的；三是简要地回顾一下有关数的基本知识，以便为后面数理解易理提供一个必要的准备知识。四是概述一下从布尔代数到俊龙代数所蕴含的数学发现和意义。
二、八卦符号及其逻辑内涵
《周易》号称天书，盖因其中有六十四卦符号系统。而六十四卦由八卦组合而成，因此，要想读懂《周易》先要看懂八卦。若不识《周易》中的卦象而只是认识其中的文字，所得理解或许不难自圆其说，但与卦象原义则难以相符。
那么，八卦到底代表什么意思呢？《说卦》曰：“乾为首。坤为腹。离为目。坎为耳。艮为手。震为足。巽为股。兑为口。”借助人体形态可以解开八卦之谜。
1.八卦及其俗名
八卦：乾☰，坤☷，坎☵，离☲，震☳，巽☴，艮☶，兑☱。
俗名：☰乾为父，☷坤为母；☳震为长男，☴巽为长女，☵坎为中男，☲离为中女，☶艮为少男，☱兑为少女。其中不含乾坤者为六子。
2.八卦中的四对矛盾
☰乾为天，☷坤为地；
☳震为动，☶艮为止；
☴巽为入，☱兑为说（脱）；
☵坎为水，☲离为火。
两对相错关系：
乾☰坤☷，坎☵离☲；
两对相覆关系：
震☳艮☶，巽☴兑☱。
3.八卦与人体形态
☰乾为首。☷坤为腹。☵坎为耳。☲离为目。☳震为足。☴巽为股。☶艮为手。☱兑为口。
4.卦象是逻辑图
☲离为目，表示☲为交集（与门）。☵坎为耳，表示☵为交集之补（与非）。☴巽为股，表示☴为并集（或门）。☱兑为口，表示☱为并集之补（或非）。☶艮为手，表示☶为对称差（环和）。☳震为足，表示☳为对称差之补（差非）。
艮为手，艮是对称差（环和）。拥抱即环和。
可见，八卦是逻辑符号。进一步地，六十四卦是演绎逻辑系统。
上述关于八卦是逻辑图的结论构成《〈周易〉经传数理研究》（人民出版社2015年版）、《论八卦是八个逻辑范式》（《周易研究》2012年第3期）和《简论八卦是通用语义符号》（《山西大学学报》2014年第3期）等论著和论文的重要基础。
三、为什么《周易》有卦象
《周易》这部经典与众经不同之处在于有卦象，那么，为什么《周易》有卦象？可不可以取消卦象呢？
《系辞传上》曰：“子曰：‘书不尽言，言不尽意。’然则圣人之意，其不可见乎？子曰：‘圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言。变而通之以尽利，鼓之舞之以尽神。’”
“书不尽言，言不尽意。”这一段子曰明确认识到书（文字）和言（语言）的局限性。书（文字）不能充分表达言（语言），说明人类语言比文字要复杂；言（语言）不能充分表达意（思想），说明思想比语言要丰富。文字是记录语言的符号，语言是表现思想的工具。然而，单靠文字表现语言是不充分的。同样，单靠语言表示思想也是不充分的。
“然则圣人之意，其不可见乎？子曰：‘圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言。变而通之以尽利，鼓之舞之以尽神。’” 圣哲（圣人）为了更充分地呈现其思想，于是设立卦象为其表达思想的工具。通过卦象弥补文字的不足，通过系辞弥补语言的不足。通过卦象的变化、变通以表现物利之用，通过推演、呈现传达神义之功。
显然，卦象不同于书写文字也不同于普通语言。说明表达圣哲的思想不能仅仅依赖于文字，也不能仅仅依赖于普通语言，而需要比文字更严谨的卦象符号，比普通语言更深刻的卦象语言。
卦象是中国古代圣哲为了弥补书面文字和普通语言在表意上的双重不足而设立的。因此，理解卦象不能仅仅从书面文字或普通语言上去理解或解释，而要从逻辑符号和逻辑语言两方面去理解和解释。
《系辞上》曰：“乾坤其易之緼邪？乾坤成列，而易立乎其中矣。乾坤毁则无以见易；易不可见，则乾坤或几乎息矣。”这里，古人以乾坤代指八卦或六十四卦，充分说明了卦象的设立或存在对于《周易》这部经典的决定性的重要意义。
对于为了克服文字和语言的局限性而发明的卦象符号，如果只通过文字和语言去诠释，则完全违背了古之圣人的良苦用心。不仅没有意识到克服文字和普通语言对于认知圣人之意的重要性，甚至把最能体现圣人之意的卦象符号和卦象逻辑的存在性也因“得意忘象”而搁置起来了。
然而，古往今来，大多数所谓义理派学人基本上都是“扫象”而解《易》，且自以为易学正宗；从而自居尊位以贬低以数解《易》，甚至排斥任何探讨卦象数理的研究。
不过，问题并没有那么简单。义理派“扫象”是缘于没有读懂卦象，而象数派虽然重视卦象，但是也没有读懂卦象。或者说，象数派没有取得令人信服的成果。从而使义理派没有受到足以值得重视的挑战。
于是乎，读不懂卦象的义理派还有卦爻辞和《易传》可以研究，而读不懂卦象的象数派则失去可以立论的基础。因此可以想见，在同样读不懂卦象的前提下，义理派比起象数派来，自然占据绝对优势。
四、算术常识：抽象符号中的基本概念
数字符号、卦象符号属于抽象符号，卦象符号大家比较陌生，我们先从数字符号讲起。
算术是关于数的运算。基本的数是自然数。
《周易·系辞》曰：“天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十。”
1．计数及其运算
正整数：自然数
计数和进位制：十进制
十进制模型：人（哺乳动物）有一双手（前肢），每只手长有五指（爪子），2×5＝10。
负数的引入及其含义。
算术运算：加减乘除。
十进制乘法：九九乘法口诀
2．整数的基本性质
整数模型：数轴
1）－0＝0；
2）满足三分律；
3）运算是闭的。
上述性质也是实数的基本性质。
3．运算工具：珠算与卦象
珠算口诀：一上一，二上二，三下五除二，等等。
珠算是关于十进制的运算。
但是，算盘的形制包含二进制和五进制，因为，2×5＝10。
依照传统的阴阳五行思想看，算盘下档五珠是五个变量（变元）对应五行，上档二珠代表阴阳。
不过，如果从卦象生成的数理看，算盘的二五形制与卦象亦具有内在的数理联系。任意给予五个相互独立的变量（算珠）就能得到第六个独立变量，且与前五个变量的总和构成互补关系。六十四卦的每一个卦都是六个爻符组成的，爻符分两种：阳爻和阴爻。
同样，任意给予四个相互独立的变量（算珠）就能得到第五个独立变量，且与前四个变量的总和构成互补关系；任意给予三个相互独立的变量（算珠）就能得到第四个独立变量，且与前三个变量的总和构成互补关系；任意给予两个相互独立的变量（算珠）就能得到第三个独立变量，且与前两个变量的总和构成互补关系；任意给予一个独立的变量（算珠）就能得到第二个独立变量，且与前一个构成互补关系。（参见拙著《〈周易〉经传数理研究》第十二章，北京：人民出版社，第223-224页）
因此，从实际计算的技术层面看，算盘上档只需一个算珠即可，而上档的这一算珠与下档五珠的总和是互补的，因而可以表示满五进一。
《系辞》曰：“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”这段话蕴含深刻的数理。
从数理上看，若保持算盘上档为一个算珠，那么，依照下档的算珠数量可以得知：下档五算珠是（二五得十）十进制，对应六十四卦；下档四算珠是（二四得八）八进制，对应三十二卦；下档三算珠是（二三得六）六进制，对应十六卦；下档二算珠是（二二得四）四进制，对应八卦；下档一算珠是（二一得二）二进制，对应四象；下档零算珠是（二零得零）零进制，对两仪。
由上可知，结合算盘的运算机制和《周易》卦象的形成机制看，六十四卦中蕴含十进制计数原理，这是一个新的结论。
如何理解《周易》卦象中蕴含的基本数理以及基本哲理，涉及到新的数理逻辑工具，因此，为了达到理解和运用新的数理逻辑工具的目标，我们还需要做一些相关的基础知识的准备工作。
五、预备知识：象形符号中的基本概念
新的数理工具属于数理逻辑，因此，涉及逻辑运算规则。
逻辑运算规则是什么呢？我们可以从日常生活经验出发去逐步接近数理中的运算对象及其运算规则。
1．白纸（黑板）和颜料
白纸（黑板）：相对论域与无限论域。
黑白（阴阳）互补：白底黑字、黑底白字。
俗语：一张白纸可以画最美的图画。
2．关于线条：道路为线路（地铁线）
线路的设置：起点、终点、线路的走向及途中站点；
线路的数字编号：1号线、2号线、3号线、…、15号线；
线路上的站点：路名站、地名站、地点站；
线路的换乘点：人民广场：1号与2号换乘；
假设换乘点是线路与线路的交点。
线路的形态：直线、环线、曲线；
线路的方向：东西向、南北向、环路、斜向；
基本概念：线、直线、曲线、点。
3．关于颜料及其组合
设有红、黄、蓝三种颜料，
幂等律（A＋A＝A，A×A＝A）：红＋红＝红，黄＋黄＝黄，蓝＋蓝＝蓝。
组合律：红＋黄＝橙，红＋蓝＝紫，黄＋蓝＝绿。
互补律：红与绿，黄与紫，蓝与橙。
蓝色的大海，橙色的阳光。
黄袍加身，紫金宫。
新娘戴着红盖头，新郎不能戴绿帽子。
六、数学符号的常规含义及其新用法
这里将把上述抽象符号和象形符号都作为数学符号来理解，或者说，我们将用数学工具统一处理上述数字和线路问题。
下面将对数系统作新的解释并对运算规则做适当的改进，从而打造（或建构）新的数理工具。
这里要说明的是，已有的知识既是认知的必要条件或许也是认知的障碍。
探索新知识或理解新知识需要新的认知工具。
新的认知工具的获得，或者是全新的发明，或者是对已有工具加以改进而产生新的工具。
佛教的教义是教导人们破执，即不要偏执，甚至连拥有也不固执。在这里，现在的确要求破除一些执见或定势（定识）。当然，这里的破执是针对特定内容的，就是破已有的数概念及其运算方法。只有打破数的旧有成见才能确立新的运算规则。
1．建立新的数轴模型
旧有的数轴模型只有原点，没有起点，也没有终点。一句话，旧的数轴模型没头没尾。
新的数轴模型与旧的数轴模型不同之处在于既有起点又有终点，但是，没有原点。
新的数轴模型以空（－0）为起点，以无（0）为终点。
2．正数负数的新用法
正数作为序数使用，负数作为正数的补数使用。－1是1的补数。
2．0及其相反数的含义及其新用法
在算术中，－0＝0。但是，在数的新模型中－0≠0。
3．数是什么？
数的内涵是非常丰富的，因此，数学是一门博大精深的学问。
我们只有从最基本的层面看待数，才有可能逐步了解数的内涵。
首先，数是用于排序的标记符号。此一层面上的数，虽然存在于一定的序列中，但尚未涉及数量关系。甚至，此一层面的序列还没有方向标记。
第二，有方向标记的序列。此时仍然没有大小关系。
第三，有蕴含关系的序列。此时开始出现大小关系，但尚不知到底大多少。
第四，有计量关系的序列。此时即普通的数轴，其中的数是算术运算的变量。
新的数理逻辑存在于上述第三阶段中，其中的数是逻辑运算的变量。可见，新的数理逻辑是比普通的算术运算更基本的数*运学**算。因为更基础，所以，新的数理逻辑中蕴含算术运算中的基本性质。
算术仅仅是数的运算，是纯粹量的计算。比起算术，新的数理逻辑更基础，表现形状也更柔软一些，其所表达的内容更丰富。后者可以解释前者，而前者不能解释后者。
4．加减乘除的含义及其新用法
我们可以用街坊门牌号的编号和房屋*迁拆**来说明新数学的运算规则，并从中感受一下新数学的适用范围的宽广。
加减乘除四则运算，现在这里只讲加减乘三项。加是合并的意思，乘是相交的意思，减是去除的意思。
空间：空地，空档，挑空，跳空，腾空。
实在：房屋，住户，动迁户。
加法、合并：连排别墅，户户相连。
减法、去除；拆除，拆毁，拆空。
乘法、相交：拐角，钉子户。
编号：学号，座号，书号，番号，门牌号，车牌号，航班号。
或许相邻号码是等差的，但是并不意味着被编号者之间是等差距的。
前面所讲的内容都属于新数学能够给予数理解释的实例或范围。
七、发现俊龙代数（太极代数）的数学意义
我发现了俊龙代数（太极代数），那么这一发现有什么意义呢？
原本我比较反感就自己的发现或所写文章发表评论，但是，有时却不得不就自己的发现或所写的内容，对诸如“有什么价值”或“有什么意义”作出回应。
在去年12月13日晚上全球未来论坛上的讲座之后，我又面临必须回答俊龙代数（太极代数）意味着什么的问题。
问题倒不是直接这么问的，而是针对俊龙代数（太极代数）中的概念提出的置疑，认为俊龙代数（太极代数）混淆了学界或人们对数的既有认识。比如认为，俊龙代数（太极代数）中的0与普通算术中0含义不同，这会引起混乱。从而主张为俊龙代数（太极代数）另造一套符号系统。
我回应说，在拙著《〈周易〉经传数理研究》中已经做了技术处理。具体做法是对用于表示逻辑变量的数统一加上特定的括号“〖 〗”以示区别。
这里我要说明一下，为什么我不主张为俊龙代数（太极代数）中的逻辑变量另造数符系统。这是基于我对现有数符的新认知。
我认为最基本的数是裸数（基数），祼数（基数）只是数符，其自身没有大小。裸数（基数）只有经过赋值程序才拥有量或序关系。而不同的赋值规则导致数的不同内涵。
自然数是裸数（基数），本没有大小。但在算术中，数被赋予大小。而且算术上数的大小关系可以具体表现在带有（或标有）原点的数轴上或坐标系中。在数轴上的数结构被认为是良序的。
但是，俊龙代数（太极代数）中，数的赋值规则是不同的。因此，俊龙代数（太极代数）的运算规则也不同于算术规则。当然，两者之间也有部分相同的运算规则。但总体上，俊龙代数（太极代数）属于逻辑运算，不同于普通的算术运算。
俊龙代数（太极代数）存在的主要意义，就在对于数的赋值规则是新的，从而采用与算术不同的运算规则。
俊龙代数（太极代数）的发现意味着存在一种新的赋值规则，从而使得全体实数都成为逻辑变量。这一新发现，更新了人们对数的原有认知。
数有裸数（基数）、序数、算术数和逻辑数四种。具体地，若n表示祼数（基数），则〈n〉表示序数，【n】表示算术数，〖n〗表示逻辑数。算术数是普通算术中的运算变量，逻辑数是太极代数中的运算变量。
在现有数学体系中，算术数独霸裸数（基数），但逻辑数出现后，这种独霸局面将不能再维持下去了。
现在就是要知识共同体承认：数，至少有裸数（基数）、序数、算术数和逻辑数四种。前两者不含大小，后两者是不同的数值系统。
我想，学界或不可能一下子就承认新发现的逻辑数，然而，一旦发现其普遍的实用价值，或认同其重要的理论意义，则终将不得不承认这一事实，这是可以预见的图景。
以上就是这一讲的主要内容。
下面一讲的内容是卦象的数理解释。具体讲一讲新数学如何产生于《周易》卦象又如何解释《周易》卦象的，我们将用俊龙代数（太极代数）推演出八卦了。
今天的讲座内容先讲到这。
谢谢大家！
王俊龙
江苏盐城人，1959年生于上海，1981年至1985年在华东师范大学教育系读学校教育本科专业，2006年至2009年在上海师范大学师从陈卫平教授攻读中国哲学博士学位。
现为《高等学校文科学报文摘》（后改为《高等学校文科学术文摘》）杂志社研究室主任、副研究员，从事教育学、心理学和语言文字学编辑工作。
现任上海周易研究会理事，曾任国际青年易经学会常务副会长，兼任中国周易学会常务理事。曾任上海师范大学中国传统思想研究所兼职研究员，兼任苏州太湖书院高级研究员、《古易新探》丛书编辑室主任。
擅长数学，长期从事《周易》数理研究。已完成学术专著3部：《〈周易〉经传数理研究》（人民出版社2015年3月版）；《数理视野下的易学》（华南理工大学出版社，即将出版）；新近完成的《〈周易〉的数理语义学诠释》已获上海师范大学出版后期资助。
1992年至今于《周易研究》《学术月刊》《东亚文献研究》（中韩合办）《湖南师范大学自然科学学报》等刊物发表论文约40篇。