2021年湖南永州中考数学第25题（倒数第二题），此题是圆为背景的综合题。主要考查圆周角定理，切线的判定，三角形外角定理，角平分线定义，相似三角形的判定和性质等知识。综合性强，难度适中。

25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证： ＝2AD•AO；

（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．

思路分析：第（1）问，连接OC，证OC∥AD即可。第（2）问，连接BC，证△ADC与△ACB相似即可。第（3）问，设∠PAQ=x，由外角定理得∠EBM=2∠PBM=∠EAB+∠AEB=4x+90°,所以∠PBM=2x+45°,又∠PBM=2x+∠P，所以∠P=45°，同法可求：∠Q=45°，问题解决。

解题思路：