2021 年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） 下列各数中，比 1 大比 2 小的无理数是（ ）
A ．1.414 B ．
C ．
D ．
2 ．（2 分） 如图是由 7 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
|
A． |
|
B． |
C ．
D．
3 ．（2 分） 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A ．打开电视，正在*放播**《新闻联播》
B ．如果 x2＝y2 ，那么 x＝y
C ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D ．从一个只有黑球的盒子里面摸出一个球是白球
4 ．（2 分） 下列关于数字变换的图案中，不是中心对称图形但是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D．
5 ．（2 分） 下列计算结果正确的是（ ）
A ．
B ．（x2）3＝x5
C ．（ ﹣ xy）5÷（ ﹣ xy）3＝ ﹣ x2y2 D ．3x2y ﹣ 5xy2＝ ﹣ 2xy
6 ．（2 分） 如图，AB∥CD ，FE⊥DB 于点 E ， ∠1＝48° ，则∠2 的大小为（ ）
A ．52° B ．48° C ．42°
7 ．（2 分） 不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（
A ．
B ．
C ．
D ．
D ．30°
）
8．（2 分） 2020 年，我国国内生产总值约为 1015986 亿元，将数据 1015986 亿用科学记数法
表示为（ ）
A ．1.015986 ×1015
C ．1.015986 ×1013
9 ．（2 分） 反比例函数y＝
A ．第一、三象限
C ．第一象限
B ．1.015986 ×1014
D ．1.015986 ×1012
（x＞0）的图象在（ ）
B ．第二、四象限
D ．第四象限
10 ．（2 分） 在平面直角坐标系中，△ABC 与△A1B1C1 的相似比是 2：1 ，并且是关于原点 O
的位似图形，若点 B 的坐标为（ ﹣ 4 ， ﹣ 2），则其对应点 B1 的坐标是（ ）
A ．（ ﹣ 2 ， ﹣ 1 ） B ．（2 ，1）
C ．（ ﹣ 2 ， ﹣ 1）或（2 ，1 ） D ．（ ﹣ 8 ， ﹣ 4）
二、填空题（每小题 3 分共 18 分）
11 ．（3 分） 因式分解： 2m2 ﹣ 2＝ ．
12 ．（3 分） 一个多边形的内角和等于它的外角和的 4 倍，则这个多边形的边数是 ．
13 ．（3 分） 已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5 ，△ABC 的面积为 9 ，则△DEF 的面积
．
为
14 ．（3 分） 数据 5 ，2 ，2 ，3 ，1 ，5 ，4 的众数是 ．
15 ．（3 分） 如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A ，B ，C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C，D ，则tan∠ADC 的值为 ．
16 ．（3 分） 如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝ ∠BCD＝90° ，对角线AC 与 BD 相交于点 E ，点 F，G 分别是 AC ，BD 的中点，当∠CBD＝15° ，EG＝EC ，FG＝
时，则线段 AC 的长为 ．
三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18 、19 小题各 8 分，共 22 分）
17 ．（6 分） 计算： 2sin60° ﹣ |
﹣ 2| ﹣ 20210 ﹣
﹣ （ ﹣
） ﹣ 1．
18．（8 分）在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的 1 个红球和 2 个黄球（可记作黄 1，
黄 2）．
（1）小明从袋中随机摸出 1 个球，记下颜色后放回，混合均匀后，再从中随机摸出 1 个 球，并记录下颜色．请用画树状图或列表法，求小明第一次摸到黄球，第二次摸到红球 的概率；
（2）小华从袋中随机摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再从剩余的球中随机摸出 1 个球，
并记录下颜色．请直接写出小华两次摸到的球中有 1 个黄球，1 个红球的概率是 ．
19 ．（8 分） 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点 E，过点 A 作AF∥BD ，过
点 B 作 BF∥AC，两线相交于点 F．
（1）求证： 四边形AEBF 是菱形；
（2）连接 CF，交 BD 于点 G ，若 BD⊥CF，请直接写出∠AED 的度数为 度．
四、（每题 8 分，共 16 分）
20 ．（8 分） 某校为调查学生对数学史知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n 名学生进 行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计
图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽测了 名学生，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中m 的值是 ，70 ﹣ 80 所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（3）已知“80 ﹣ 90”这组的数据如下： 82 ，83 ，83 ，85 ，85 ，85 ，86 ，87 ，88 ，88 ，88， 89 ，抽取的 n 名学生测试成绩的中位数是 分；
（4）若成绩达到 60 分以上（含 60 分） 为合格，请你估计该校 2000 名学生中有多少名 学生对数学史知识了解情况为合格．
21 ．（8 分） 药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒 40 元，如果按照每盒 47 元的价格进
行销售，每月可以售出 200 盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价 1 元，其月销
售量就将减少 10 盒．
（1）药店要保证每月销售此种口罩盈利 1700 元，又要使每盒售价不高于 55 元，则每盒 口罩可涨价多少元？
（2）若使该口罩的月销量不低于 150 盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？ 第 4页（共 28页）
五、（本题 10 分）
22．（10 分）如图一面墙上有一个矩形门 ABCD 现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门， 在圆内接矩形ABCD 中，AD＝
m ，CD＝1m．
（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少 m？
（2）求要打掉墙体的面积是多少 m2？
（π≈3. 1 ，
≈1.7 ，结果精确到 1m2）
六、（本题 10 分）
23．（10 分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点 O 是坐标原点，点A 的坐标为（ ﹣ 30 ，0），点 B 的坐标为（ ﹣ 30 ，30），△CDE 是位于y 轴的左侧且边长为 8
的等边三 角形，边 DE 垂直于 x 轴，△CDE 从点 C 与点 O 重合的位置开始，以每秒 2 个单位长的 速度先沿点 O 到点 A 的方向向左平移，当 DE 边与直线 AB 重合时，继续以同样的速度 沿点A 到点 B 的方向向上平移，当点 D 与点 B 重合时，△CDE 停止移动．
（1）求直线 OB 的函数表达式；
（2）当△CDE 移动 3 秒时，请直接写出此时点 C 的坐标为 ；
（3）在△CDE 的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE 的面积为 36
时，请直接写出 此时点 E 的坐标为 ．
七、（本题 12 分）
24 ．（12 分） 在正方形 ABCD 中，点 M 是边 CD 上一点，点 N 是边 AD 上一点，连接 BM， CN相交于点 P ，且 CM＝DN．
（1）如图 1 ，请判断线段 BM 与 CN 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图 2 ，延长 CN 到点 Q ，连接DQ ，且∠CQD＝45°．
①请直接写出 BP ，CP ，CQ 之间的数量关系为 ；
②连接 AC，AQ ，当 BP＝2CP ，△ACQ 的面积是 6 时，请直接写出NQ 的长为 ；
（3）点 E 在线段 CN上，连接 BE，DE，当AB＝
，∠BED＝135°，BE+
DE＝3
时，请直接写出 NE 的长为 ．
八、（本题 12 分）
2021 年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷
A．
．
B．
．
C
D
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） 下列各数中，比 1 大比 2 小的无理数是（ ）
A ．1.414 B．
C．
D ．
【分析】 由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的 定义即可求解．
【解答】 解： A 、1.414 是有理数，故此选项不符合题意；
B 、
是比 1 大比 2 小的无理数，故此选项符合题意；
C、
是有理数，故此选项不符合题意；
D 、
是比 2 大的无理数，故此选项不符合题意；
故选： B．
【点评】 此题主要考查了实数大小的比较，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，
无限不循环小数为无理数．
2 ．（2 分） 如图是由 7 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
【分析】 俯视图是从上面看所得到的图形．
A．
B．
．
．
C
D
【解答】 解： 从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形． 故选： A．
【点评】 此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的位置．
3 ．（2 分） 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A ．打开电视，正在*放播**《新闻联播》
B ．如果 x2＝y2 ，那么 x＝y
C ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D ．从一个只有黑球的盒子里面摸出一个球是白球
【分析】 根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】 解： A 、打开电视，正在*放播**《新闻联播》，是随机事件；
B 、如果 x2＝y2 ，那么 x＝y ，是随机事件；
C、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是必然事件； D 、从一个只有黑球的盒子里面摸出一个球是白球，是不可能事件；
故选： D．
【点评】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条 件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事
件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4 ．（2 分） 下列关于数字变换的图案中，不是中心对称图形但是轴对称图形的是（ ）
【分析】 根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】 解： A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选： B．
【点评】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分
重合．
第 8页（共 28页）
5 ．（2 分） 下列计算结果正确的是（ ）
A ．
C ．（ ﹣ xy）5÷（ ﹣ xy）3＝ ﹣ x2y2
B ．（x2）3＝x5
D ．3x2y ﹣ 5xy2＝ ﹣ 2xy
【分析】 A ．直接根据分式的加减运算法则判断即可；
B ．根据幂的乘方运算法则判断即可；
C．根据积的乘方与幂的乘方运算法则判断即可；
D ．根据同类项概念判断即可．
【解答】 解： A 、
，正确；
B 、（x2）3＝x6 ，故不正确；
C、（ ﹣ xy）5÷（ ﹣ xy）3＝ ﹣x5y5÷（ ﹣x3y3）＝x2y2 ，故不正确；
D 、3x2y ﹣ 5xy2 不是同类项，不能合并，故不正确．
故选： A．
【点评】 此题考查的是分式的加减运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
6 ．（2 分） 如图，AB∥CD ，FE⊥DB 于点 E ， ∠1＝48° ，则∠2 的大小为（ ）
A ．52° B ．48° C ．42° D ．30°
【分析】 先根据直角三角形的性质得出∠D 的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】 解： ∵FE⊥DB，
∵∠DEF＝90°．
∵∠1＝48°，
∴∠D＝90° ﹣ 48° ＝42°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝ ∠D＝42°．
故选： C．
【点评】 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为： 两直线平行，同位角相等．
7 ．（2 分） 不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀： 同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】 解： 解不等式 2 （x ﹣ 1）＜0 ，得： x＜1，
解不等式 3x+1≥2x ，得： x≥ ﹣ 1，
则不等式组的解集为 ﹣ 1≤x＜1，
故选： A．
【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大； 同小取小； 大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2 分） 2020 年，我国国内生产总值约为 1015986 亿元，将数据 1015986 亿用科学记数法
表示为（ ）
A ．1.015986 ×1015
C ．1.015986 ×1013
B ．1.015986 ×1014
D ．1.015986 ×1012
【分析】 科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数； 当原数的绝对值＜ 1 时，n 是负整数．
【解答】 解： 1015986 亿＝ 101598600000000＝1.015986×1014．
故选： B．
【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其
中 1≤|a|＜10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
9 ．（2 分） 反比例函数y＝
（x＞0）的图象在（ ） 第 10页（共 28页）
， ﹣ 2 ×
A ．第一、三象限
C ．第一象限
B ．第二、四象限
D ．第四象限
【分析】 由k＝ ﹣ 5 知，图象位于第二、四象限，而 x＞0 可知，图象在第四象限，即可 得出答案．
【解答】 解： ∵k＝ ﹣ 5，
∴图象位于第二、四象限，
∵x＞0，
∴图象在第四象限．
故选： D．
【点评】 本题考查反比例函数的图象与性质，特别注意 x＞0 这一条件，是正确解决问题 的关键．
10 ．（2 分） 在平面直角坐标系中，△ABC 与△A1B1C1 的相似比是 2：1 ，并且是关于原点 O
的位似图形，若点 B 的坐标为（ ﹣ 4 ， ﹣ 2），则其对应点 B1 的坐标是（ ）
A ．（ ﹣ 2 ， ﹣ 1 ） B ．（2 ，1）
C ．（ ﹣ 2 ， ﹣ 1）或（2 ，1 ） D ．（ ﹣ 8 ， ﹣ 4）
【分析】 根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】 解： ∵△ABC 与△A1B1C1 的相似比是 2：1 ，并且是关于原点 O 的位似图形，
点 B 的坐标为（ ﹣ 4 ， ﹣ 2），
则其对应点 B1 的坐标是（ ﹣ 4×
2 ， ﹣ 1 ）或（2 ，1），
故选： C．
|
）或（ ﹣ 4×（ ﹣ |
|
）， ﹣ 2 ×（ ﹣ |
|
）），即（ ﹣ |
【点评】 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是
以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 ﹣ k．
二、填空题（每小题 3 分共 18 分）
11 ．（3 分） 因式分解： 2m2 ﹣ 2＝ 2（m+1）（m ﹣ 1） ．
【分析】 直接提取公因式 2 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】 解： 2m2 ﹣ 2＝2（m2 ﹣ 1）
＝2 （m+1）（m ﹣ 1）．
故答案为： 2 （m+1）（m ﹣ 1）．
【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题
关键．
12 ．（3 分） 一个多边形的内角和等于它的外角和的 4 倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】 设这个多边形的边数为 n，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解
即可．
【解答】 解： 设这个多边形的边数为 n，
（n ﹣ 2） •180°＝4×360°，
解得 n＝10，
故答案为： 10．
【点评】 本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与 外角和定理．
13 ．（3 分） 已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5 ，△ABC 的面积为 9 ，则△DEF 的面积为
25 ．
【分析】 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】 解： ∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，
∴
＝（
）2＝
，
∵△ABC 的面积为 9，
∴△DEF 的面积为 25，
故答案为： 25．
【点评】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方 是解题的关键．
14 ．（3 分） 数据 5 ，2 ，2 ，3 ，1 ，5 ，4 的众数是 2 和 5 ．
【分析】 根据众数的概念求解即可．
【解答】 解： 数据 5 ，2 ，2 ，3 ，1 ，5 ，4 中，2 和 5 出现次数最多，有 2 次，
所以这组数据的众数为 2 和 5，
故答案为： 2 和 5．
【点评】 本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法： 找出频数最多的那个数据，若 几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
15 ．（3 分） 如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A ，B ，C 都在格点上，以 AB 第 12页（共 28页）
．
为直径的圆经过点 C，D ，则tan∠ADC 的值为
【分析】 首先根据圆周角定理可知， ∠ADC＝ ∠ABC ，然后在 Rt△ACB 中，根据锐角三 角函数的定义求出∠ABC 的正切值．
【解答】 解： 如图，连接AC、BC．
∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧长都是
，
∴根据圆周角定理知， ∠ADC＝ ∠ABC．
在 Rt△ACB 中，根据锐角三角函数的定义知，
tan∠ADC＝tan∠ABC＝
＝
，
故答案为：
．
【点评】 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解 答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC 的正切值转化成求∠ABC 的正切值，本题是
一道比较不错的习题．
16 ．（3 分） 如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝ ∠BCD＝90° ，对角线AC 与 BD 相交于点 E ，点 F，G 分别是 AC ，BD 的中点，当∠CBD＝15° ，EG＝EC ，FG＝
时，则线段 AC 的长为 6 ．
【分析】 连接AG ，CG ，由直角三角形的性质判断△ACG 为等腰三角形，并根据题意求 出∠CGE＝30° ， ∠GFC＝90° ，从而在 Rt△GFC 中求解即可．
【解答】 解： 如图所示，连接AG ，CG，
由题意，△ABD 与△BCD 均是 BD 为斜边的直角三角形，
∴AG＝
BD ，CG＝
BD，
即： AG＝CG，
∴△ACG 为等腰三角形，
∵∠CBD＝15° ，CG＝BG，
∴∠CGE＝2∠CBD＝30°，
∵EC＝EG，
∴∠ECD＝ ∠CGE＝30°，
又∵F 为AC 的中点，
∴GF 为△ACG 的中线，AF＝CF，
∴由“三线合一“知，GF⊥AC ， ∠GFC＝90°，
∵FG＝
，
∴CF＝
FG＝3，
∴AC＝2FC＝6，
故答案为： 6．
【点评】 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质等，灵活运用直角三角形相关性质是 解题关键．
三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18 、19 小题各 8 分，共 22 分） 第 14页（共 28页）
17 ．（6 分） 计算： 2sin60° ﹣ |
﹣ 2| ﹣ 20210 ﹣
﹣ （ ﹣
） ﹣ 1．
【分析】 直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特
殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】 解： 原式＝2×
﹣ （2 ﹣
） ﹣ 1 ﹣ 2
+3
＝
﹣ 2+
﹣ 1 ﹣ 2
+3
＝0．
【点评】 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（8 分）在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的 1 个红球和 2 个黄球（可记作黄 1， 黄 2）．
（1）小明从袋中随机摸出 1 个球，记下颜色后放回，混合均匀后，再从中随机摸出 1 个 球，并记录下颜色．请用画树状图或列表法，求小明第一次摸到黄球，第二次摸到红球
的概率；
（2）小华从袋中随机摸出 1 个球，记下颜色后不放回，再从剩余的球中随机摸出 1 个球，
并记录下颜色．请直接写出小华两次摸到的球中有 1 个黄球，1 个红球的概率是
．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与第一次摸 到黄球，第二次摸到红球的所有情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与两次摸到的球中有
1 个黄球，1 个红球的所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】 解：（ 1）画树状图如下：
由树状图可知，共有 9 种结果，其中第一次摸到黄球，第二次摸到红球共 2 种，
∴第一次摸到黄球，第二次摸到红球的概率为 P1＝
；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有 6 种结果，其中两次摸到的球中有 1 个黄球，1 个红球有 4 种，
，
∴两次摸到的球中有 1 个黄球，1 个红球的概率为 P2＝
故答案为：
．
＝
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件A 或事件 B 的概 率．
19 ．（8 分） 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点 E，过点 A 作AF∥BD ，过 点 B 作 BF∥AC，两线相交于点 F．
（1）求证： 四边形AEBF 是菱形；
（2）连接 CF，交 BD 于点 G ，若 BD⊥CF，请直接写出∠AED 的度数为 60 度．
【分析】（1）先证明四边形 AEBF 是平行四边形，再由矩形的性质得出 AE＝BE＝DE， 即可得出四边形AEBF 是菱形；
（2）连接 EF，由菱形的性质得出 AE＝BE＝AF＝BF，证出△AEF 和△BEF 是等边三角
形，即可求解．
【解答】 证明：（ 1） ∵AF∥BD ，BF∥AC，
∴四边形AEBF 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AE＝CE ，BE＝DE，AC＝BD，
∴AE＝BE＝DE，
∴四边形AEBF 是菱形；
（2）连接 EF，
∵四边形AEBF 是菱形，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∵BD∥AF，BD⊥CF，
∴∠AFG＝ ∠DGC＝90°，
∵AE＝EC，
∴EF＝AE＝EC，
∴AE＝EF＝AF＝EB＝BF，
∴△AEF 是等边三角形，△BEF 是等边三角形，
∴∠AEF＝ ∠BEF＝60°，
∴∠AED＝60°，
故答案为 60．
【点评】 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、平行
四边形的判定； 熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明四边形 AEBF 是菱形再
进一步证出△AEF 和△BEF 是等边三角形是解决问题（2）的关键．
四、（每题 8 分，共 16 分）
20 ．（8 分） 某校为调查学生对数学史知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n 名学生进
行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计
图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽测了 50 名学生，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中 m 的值是 16 ，70 ﹣ 80 所对应的扇形圆心角的度数是 72 度； （3）已知“80 ﹣ 90”这组的数据如下： 82 ，83 ，83 ，85 ，85 ，85 ，86 ，87 ，88 ，88 ，88， 89 ，抽取的 n 名学生测试成绩的中位数是 84 分；
（4）若成绩达到 60 分以上（含 60 分） 为合格，请你估计该校 2000 名学生中有多少名 第 17页（共 28页）
学生对数学史知识了解情况为合格．
【分析】（1）根据 80～90 的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后 即可计算出 90～100 这一组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出 m 的值和 70 ﹣ 80 所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据直方图中的数据和题目中的数据，可以计算出中位数；
（4）根据直方图中的数据，可以计算出该校 2000 名学生中有多少名学生对数学史知识
了解情况为合格．
【解答】 解：（ 1）本次调查共抽测了 12÷24%＝50 名学生，
故答案为： 50，
90～100 的学生有： 50 ﹣ 4 ﹣ 8 ﹣ 10 ﹣ 12＝16（人），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2）m%＝8÷50×100%＝16%，
即 m 的值是 16，
70 ﹣ 80 所对应的扇形圆心角的度数是 360°
故答案为： 16 ，72；
（3）由直方图可得，
×
＝72°，
抽取的 n 名学生测试成绩的中位数是（83+85） ÷2＝84（分），
故答案为： 84；
（4）2000×
＝1840 （名），
即估计该校 2000 名学生中有 1840 名学生对数学史知识了解情况为合格．
【点评】 本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是
明确题意，利用数形结合的思想解答．
21 ．（8 分） 药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒 40 元，如果按照每盒 47 元的价格进 行销售，每月可以售出 200 盒．经过市场调查发现，每盒口罩售价每涨价 1 元，其月销 售量就将减少 10 盒．
（1）药店要保证每月销售此种口罩盈利 1700 元，又要使每盒售价不高于 55 元，则每盒 口罩可涨价多少元？
（2）若使该口罩的月销量不低于 150 盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？
【分析】（1）设每盒口罩需涨价 x 元，根据“每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每月减 少 10 盒”表示出销售量，由（售价 ﹣ 进价） ×销售量＝利润列出方程，求出方程的解即
可得到结果；
（2）设每盒口罩的售价为 m 元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于 150 盒”列出不 等式求解即可．
【解答】 解：（ 1）设每盒口罩可涨价 x 元，
则每月可售（200 ﹣ 10x ）盒，
由题意，得（x+47 ﹣ 40）（200 ﹣ 10x ）＝1700，
解得 x1＝3，x2＝10（不合题意，舍去），
∵3+47＝50＜55，
∴每盒口罩可涨价 3 元，
答： 每盒口罩可涨价 3 元；
（2）设每盒口罩的售价为 m 元，
则 200 ﹣ 10（m ﹣ 47） ≥150，
解得，m≤52．
即： 每盒口罩的售价应不高于 52 元．
答： 每盒口罩的售价应不高于 52 元．
【点评】 此题考查了一元二次方程的应用，弄清“每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每
月减少 10 盒”是解本题的关键．
五、（本题 10 分）
22．（10 分）如图一面墙上有一个矩形门 ABCD 现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门， 在圆内接矩形ABCD 中，AD＝
m ，CD＝1m．
（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少 m？
第 19页（共 28页）
（2）求要打掉墙体的面积是多少 m2？
（π≈3. 1 ，
≈1.7 ，结果精确到 1m2）
【分析】（1）先证得 BD 是直径，利用勾股定理求出 BD 的长，即可求得半径；
（2）打掉墙体的面积＝2（S 扇形 OAD ﹣ S△AOD）+S 扇形 OAB ﹣ S△AOB，根据扇形的面积和三角 形的面积求出即可．
【解答】 解：（ 1）连接 BD ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝1m，
∴BD 是直径，BD＝
＝
＝2 （m），
∴圆弧形门所在圆的半径为 1m；
（2）取圆心 O ，连接 OA，
由（1）可知，OA＝OB＝AB＝1m，
∴△AOB 是正三角形，
∴∠AOB＝60° ， ∠AOD＝120°，
∴S△AOB＝S△AOD＝
S△ABD＝
×
×
×1＝
（m2），
∴要打掉墙体的面积 S＝2 （S 扇形 OAD ﹣ S△AOD）+S 扇形 OAB ﹣ S△AOB
＝2 （
﹣
）+（
﹣
）
＝
π ﹣
≈1 （m2），
∴要打掉墙体的面积约为 1m2．
【点评】 本题考查了圆周角定理和垂径定理，扇形和三角形的面积，矩形的性质等知识； 关键是理解阴影部分的面积是由哪几部分图形组成．
六、（本题 10 分）
23．（10 分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点 O 是坐标原点，点A 的坐标为（ ﹣ 30 ，0），点 B 的坐标为（ ﹣ 30 ，30），△CDE 是位于y 轴的左侧且边长为 8
的等边三 角形，边 DE 垂直于 x 轴，△CDE 从点 C 与点 O 重合的位置开始，以每秒 2 个单位长的 速度先沿点 O 到点 A 的方向向左平移，当 DE 边与直线 AB 重合时，继续以同样的速度 沿点A 到点 B 的方向向上平移，当点 D 与点 B 重合时，△CDE 停止移动．
（1）求直线 OB 的函数表达式；
（2）当△CDE 移动 3 秒时，请直接写出此时点 C 的坐标为 ﹣ 6 ；
（3）在△CDE 的平移过程中，连接AE，AC，当△ACE 的面积为 36
时，请直接写出 此时点 E 的坐标为 （ ﹣ 24 ， ﹣ 4
）或（ ﹣ 30 ，6
） ．
【分析】（1）由题知直线 OB 过原点和 B 点，用待定系数法求解析式即可； （2）根据平移速度求出平移距离即可求出 C 点坐标；
（3）分在 x 轴上移动和在 AB 边上运动两种情况计算出 E 点坐标即可． 【解答】 解：（ 1） ∵直线 OB 过原点，
∴设直线 OB 解析式为y＝kx，
点 B（ ﹣ 30 ，30）代入解析式，
得 30＝ ﹣ 30k，
解得 k＝ ﹣ 1，
∴OB 的解析式为y＝ ﹣ x；
（2） ∵△CDE 是边长为 8
的等边三角形，设 DE 边与 x 轴交于点 F，
∴CF＝
，
∵CD＝8
，DF＝
DE＝4
，
∴CF＝12，
∵12+3×2＝18 ，△CDE 向左移动了 6 个单位还在 x 轴上，
∴点 C 的坐标为（ ﹣ 6 ，0），
故答案为（ ﹣ 6 ，0）；
（3）①假设△CDE 在 x 轴上移动， 此时△ACE 的高一直为 EF＝4
， ∵S△ACE＝
AC•EF＝36
， ∴AC＝18，
∴OF＝OC+CF＝OA ﹣ AC+CF＝30 ﹣ 18+12＝24，
∴E 点坐标为（ ﹣ 24 ， ﹣ 4
），
②假设△CDE 在AB 边上移动，
过点 C 作 CH⊥AB 于 H，
∵△CDE 是边长为 8
的等边三角形，
∴EH＝
DE＝4
，CH＝
＝12，
又∵S△ACE＝
AE•CH＝36
，
∴
AE×12＝36
，
解得AE＝6
＞4
，
∴点 E 在第二象限，
∴E（ ﹣ 30 ，6
），
综上，点 E 的坐标为（ ﹣ 24 ， ﹣ 4
）或（ ﹣ 30 ，6
），
第 22页（共 28页）
故答案为（ ﹣ 24 ， ﹣ 4
）或（ ﹣ 30 ，6
）．
【点评】 本题考查了一次函数的几何应用、等边三角形的性质、平移的性质、勾股定理 等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题的关键．
七、（本题 12 分）
24 ．（12 分） 在正方形 ABCD 中，点 M 是边 CD 上一点，点 N 是边 AD 上一点，连接 BM， CN相交于点 P ，且 CM＝DN．
（1）如图 1 ，请判断线段 BM 与 CN 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图 2 ，延长 CN 到点 Q ，连接DQ ，且∠CQD＝45°．
①请直接写出 BP ，CP ，CQ 之间的数量关系为 BP+CP＝CQ ；
②连接 AC，AQ ，当 BP＝2CP ，△ACQ 的面积是 6 时，请直接写出NQ 的长为 1 ；
（3）点 E 在线段 CN上，连接 BE，DE，当AB＝
，∠BED＝135°，BE+
DE＝3
时，请直接写出 NE 的长为
或 3
．
【分析】（1）根据正方形的边相等、角相等及 CM＝DN，证明△BCM≌△CDN，得 BM ＝CN，∠CBM＝ ∠DCN，再导出∠CBM+∠PCB＝90° ，从而得到∠BPC＝90°，BM⊥
CN．
（2）①作 DF⊥CQ 于点 F，得到等腰直角三角形DFQ ，再证明△BPC≌△CFD ，推得 BP+CP＝CQ．
②由题意可得△ANQ∽△CND∽△BCP，可知 N 为 AD 的中点，AQ ＝2NQ ，为后面计算 方便，设正方形的边长为 2a ，这样AQ 、CQ 都可以用含 a 的代数式表示，由相似三角形 的性质可以推得∠AQN＝90° ，由△ACQ 的面积是 6 列方程求出 a 的值，再转化为NQ
的长．
（3）过点 B 作 BH⊥DE，交 DE 的延长线于点 H，连接 BD，由∠BED＝135°，BE+
DE ＝3
这些条件，求出∠BDH＝30°这一隐含条件，再按点 E 在 BD 的上方和下方两种
情况分别求出 NE 的长．
【解答】 解：（ 1）BM＝CN，BM⊥CN.
证明： 如图 1 ，在正方形ABCD 中， ∠BCM＝ ∠CDN＝90° ，BC＝CD．
∵CM＝DN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴BM＝CN；
∵∠CBM＝ ∠DCN，
∴∠CBM+∠PCB＝ ∠DCN+∠PCB＝ ∠BCD＝90°，
∴∠BPC＝90° ，BM⊥CN．
∴BM＝CN，BM⊥CN.
（2）①如图 2 ，作 DF⊥CQ 于点 F，则∠CFD＝ ∠DFQ ＝90°．
∵∠CQD＝45°，
∴∠FDQ＝45° ＝ ∠CQD，
∴DF＝QF．
由（1）得∠PBC＝ ∠FCD ， ∠BPC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠CFD，
∵BC＝CD，
∴△BPC≌△CFD （AAS），
∴BP＝CF，CP＝DF＝QF，
∴BP+CP＝CF+QF＝CQ．
故答案为： BP+CP＝CQ．
②如图 3 ，设正方形 ABCD 的边长为 2a．
∵AD＝CD ， ∠ADC＝90° ， ∠CQD＝45°，
∴∠CAN＝45°＝ ∠CQD，
又∵∠ANC＝ ∠QND，
∴△ACN∽△QDN，
∴
，
∴
，
∵∠ANQ ＝ ∠CND，
第 24页（共 28页）
＝
×
×
∴△ANQ∽△CND，
∴∠AQN＝ ∠CDN＝ ∠BPC＝90° ， ∠QAN＝ ∠DCN＝ ∠CBM，
∴
＝tan∠CBM＝
＝
，
∵CD＝AD＝2a，
∴DN＝
CD＝a，AN＝a．
设NQ＝x ，则AQ ＝2x，
∴x2+ （2x ）2＝a2，
解得 x＝
a，
∴NQ＝
a，AQ＝
a，
∵CN＝
＝
，
∴CQ＝
a+
＝
a，
由 S△AC
∴NQ＝
Q＝6 ，得
a＝
|
a × 1． |
|
a＝6 ，解得 a＝
或 a＝
（不符合题意，舍去）， |
故答案为： 1．
（3）作 BH⊥DE，交 DE 的延长线于点 H，连接 BD．
当点 E 在 BD 的上方时，如图 4．
∵∠H＝90° ， ∠BEH＝180° ﹣ ∠135°＝45°，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∴EH＝BE•sin45°＝
BE，
∵BE+
DE＝
，
∴
（BE+
DE）＝
×
，
∴
BE+DE＝3，
∴EH+DE＝3，
∴DH＝3；
∵AB＝AD＝
， ∠A＝90°，
∴BD2＝（
）2+（
）2＝12，
∴BD＝2
；
∵cos∠BDH＝
＝
∴∠BDH＝30°，
∴EH＝BH＝
BD＝
，
∴BE＝
＝
＝BC．
∵∠EBD＝ ∠BEH ﹣ ∠BDH＝45° ﹣ 30° ＝15° ， ∠CBD＝ ∠CDB＝45°，
∴∠CBE＝15°+45° ＝60°，
∴△BCE 是等边三角形，
∴CE＝BC＝
，
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝ ∠BCE＝60°，
由
，得 CN＝
＝2
，
∴EN＝CN ﹣ CE＝
；
当点 E 在 BD 的下方时，如图 5 ，作 ER⊥BC 于点 R．
同理可得 DH＝3 ， ∠BDH＝30° ，BH＝EH＝
，
∴BE＝
BH＝
＝BC，
∵∠DBE＝ ∠BEH ﹣ ∠BDH＝45° ﹣ 30° ＝15°，
∴∠CBE＝ ∠CBD ﹣ ∠DBE＝45° ﹣ 15° ＝30°，
∴∠BEC＝ ∠BCE＝
＝75°，
∴∠ECD＝90° ﹣ 75° ＝15°，
∵∠EDC＝45° ﹣ 30° ＝15°，
∴∠EDN＝ ∠END＝90° ﹣ 15° ＝75°，
∴NE＝CE＝DE．
∵∠ERC＝ ∠ERB＝90° ， ∠CBE＝30°，
∴ER＝
BE＝
，BR＝
＝
，
第 26页（共 28页）
∴CR＝
﹣
，
∴NE＝CE＝
＝
综上所述，NE 的长为
或 3
． 故答案为：
或 3
．
＝
＝3 ．
第 27页（共 28页）
【点评】 此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及 解直角三角形、二次根式的化简等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构 造特殊角和含有特殊角的直角三角形，解第（3）题时应注意分类讨论，以免丢解，此题 计算烦琐，难度较大，应边做边检验．
八、（本题 12 分