《原理》第5卷一开始就给出了18个关于线段和线段之间长短比较的定义。如果说数量的本质在于“多和少”的话，那么在欧几里得几何中，线段的本质就在于“长和短”。我们用现代符号，简洁地介绍一下其中的主要定义。
用a,b等表示线段，如果b比a短，称b是a的部分，a为b的倍量；如果a=nb，称n为a和b之间的比；如果a:b=c:d，则对任意正整数m和n有ma:nb=mc:md。可以看到，上述最后一个定义说的是比例，这是《原理》第5卷的核心。19世纪最伟大的数学家希尔伯特（1862-1943）在他的著作《几何基础》中称之为欧几里得比例论。
回忆关于数的运算，我们曾经讨论过单位1的重要性。类似地，为了合理地进行线段的运算，我们也必须定义单位线段，用δ来表示（可惜的是，欧几里得没有意识到这一点，在他的著作中没有提到单位线段，因此我们可以看到，《原理》中对于有关问题的论述仍然是含糊不清的）利用公设，容易给出线段a=nδ,其中n为正整数；对于给定这样的线段a和b，其中b是a的部分，则b=mδ并且n＞m。于是，我们可以在a和b之间做出线段的加法和减法：
a+b=nδ+mδ=(n+m)δ
a-b=nδ-mδ=(n-m)δ (1)
对于给定正整数p,容易给出线段的正整数倍
pa=p(nδ)=(pn)δ (2)
下面我们讨论如何做出线段的有理数倍，即作出线段ra，其中r=p/q且p和q为正整数。为此，需要线确认从公设出发是否能够作出平行线。对于给定直线α和上面的点A，我们可以作出一条过点A并且与直线α垂直的直线β，具体作图方法如下：
如图（1）
图（1）
在点A的左右两侧作相等线段BA和AC，由《原理》的命题1，在直线的上方作等边三角形BCD。连接D和A，则线段DA平分平角，所以过线段DA的直线β与已知直线α垂直。
显然，如果我们再作一条与直线α垂直的直线γ，那么
γ//β (3)
这样，对于给定的正整数q，我们就可以如图（2）所示作线段a/q
图（2）
步骤如下：在直线α上截OA为线段a，过点O作直线β，并作OC为单位线段δ。由(2)
式知可以作出OD为线段qδ。连接AD，由（3)可以过点C作AD的平行线交直线α于点B。因为三角形OBC与三角形OAD相似，可以得到OB/OA=OC/OD，即OB/a=δ/qδ,则有OB=a/q。再利用（2）式，就可以得到线段
p•(a/q)=(p/q)•a=ra (4)
其中r为正有理数。这样，从单位线段出发，我们已经得到了以正有理数为单位线段倍数的线段了。根据同样的思路，如图（3）所示，我们可以得到线段的乘法和除法
图（3) ab的作图 a/b的作图
有了上面的准备，就可以讨论求线段的平方根的作图问题了。我们将会看到，这个讨论是非常重要的，这个讨论决定了“尺规作图”的可能范围，因而可以明确地回答古希腊的作图问题。
虽然毕达哥拉斯从单位线段出发通过直角三角形的边之间的关系（毕达哥拉斯定理）得到了√2这个无理数，同样，对于一般的由（4）式所给出的线段a，可用毕达哥拉斯的方法给出√a。但我们现在希望发挥圆规的作用，即更多地利用圆来讨论问题。下面的方法是借用《原理》第6卷命题13中所讨论的求已知线段比例中项的方法。
如图（4）
图（4）
在直线上截取AB=a，接着截取BC=δ。取线段AC的中点为O，以O为圆心画圆，过点B作直线的垂线交圆于D。显然，ΔABD和ΔBCD均为直角三角形。又因为∠ADB与∠ACD所对应的圆弧相等，由《原理》第4卷的命题26，∠ADB=∠ACD。因此，ΔABD∽ΔBCD。可以得到，AB/BD=BD/δ，即BD=√a。
能够得到上面的结果使得古希腊的学者欢欣鼓舞，因为终于可以对于形如√a这样的无理数给出一个合理的解释了。也正因为如此，在很长的一段时间里，人们重视几何学远远胜于重视代数学，特别是在很长的一段时间里，人们在数学的教学过程中把几何等同于数学。