作为数学类普及读物光荣入选2022年度5月“中国好书”榜单。《心中有数：生活中的数学思维》是一本有趣的数学思维书，书中用生活中的案例与数学公式相结合，致力于教会读者如何用严谨的理工科思维，来看待当前世界中的各种现象，帮助读者了解数学思维、掌握数学思维、并将其运用到生活之中。
作为数学类普及读物光荣入选2022年度5月“中国好书”榜单。《心中有数：生活中的数学思维》是一本有趣的数学思维书，书中用生活中的案例与数学公式相结合，致力于教会读者如何用严谨的理工科思维，来看待当前世界中的各种现象，帮助读者了解数学思维、掌握数学思维、并将其运用到生活之中。
下面摘录以飨读者：
1、很多人在换工作时，都要求下一份工作的工资比现在更高或更稳定。这种选择看起来很自然，但是如果用数学思维看待，则另有蹊跷—— 有一种金属冷却工艺叫做“退火”。退火通过缓慢降低金属的温度，使金属内部组织达到或接*平近**衡状态。在物理学中，“温度”和“随机性”是对应的：温度越高，随机性越强。
退火的过程，代表随机性从高到低的衰减。 将模拟退火算法背后的数学思想引入生活当中，我们发现：要求新迈出的每一步都比上一步更好的策略，容易让自己陷入局部最高点：你选择一个工资更高或更稳定的行业，可能会导致你错过另一个虽然现在看起来不太稳定，但是发展潜力巨大的行业。
解决的方法是引入随机性：以一定的概率接受暂时的不完美，就可以有效避免陷入局部最高点。这种随机性对应着去大城市闯一闯，尝试各种职业，进而找到自己的兴趣、发现自己的潜力，而不是安安稳稳地一生只从事一个职业。
我们发现，人生其实就是一个寻找最优解的过程，一开始所有人都不是最完美的，但随机性让每个人都拥有无限可能，通过不断的提升，最终我们可以找到自己可能到达的最优位置。
2、 这是一本从目录开始，你就已经有收获的宝藏书：乍一看，这不就是典型的理工直男的表达方式嘛：1、思维篇 用理性思维看待世界；2、方法篇 用解决难题的策略和技巧；3、如何学习和表达。但你细琢磨，这三个维度简直就是一个输入+整合+输出的完美流程啊！ 思维篇 敲碎你对数学的刻板印象 当翻开第一章时，就意味着你对数学的刻板印象从这一刻起将被改写。
3、一个叫庞蒂亚克的汽车品牌，被顾客投诉：每当我买香草冰激凌，汽车都不启动，但如果我买其他口味的冰激凌（草莓或巧克力），汽车就会很好地启动。离谱的是汽车工程师还真去调查了此事，更离谱的是此事得到了验证和解决，最最离谱的是，这件事竟然和数学中的一个概念叫“独立条件”有关系！
具体的演算过程我就不剧透了（实在是超出了我的运算能力范畴），但结论就是“在很多情况下，两个事件看似相关，实则关于另外一个事件条件独立。如果我们不挖掘背后的“另外一个事件”，就很容易犯把“相关性”当成“因果性”的错误。关于看似相关的“买香草冰激凌”和“汽车不启动”这两件事的“另外一个事件”竟然是“汽车气阻问题”。相信我，这对于一个对汽车一窍不通，且离开数学课堂已经16年的中年少女来说，这真的真的很离谱，很有趣，很惊奇，但并未感觉看不懂。
4、把“大象装进冰箱拢共分几步”的经典小品的出现成功俘获了我，作者竟然能把它和找到函数y=–x2+2x的极值的方法联系到一起，并且这个方法可以应用到企业的产品开发、项目设计以及毕业生如何写论文。这个方法涉及到两种模式：步步为营和精益求精。
“ 步步为营的模式，每一步都力求完美，上一步没做完不进行下一步；精益求精的模式并不要求把每一步都做到完美，而要求迅速走完一个完整的流程，然后反复迭代，不断提高。”在很多情况下，用精益求精的模式通常可以得出更好的结果，你看它像不像我们常说的“成长”过程。
5、应该着重于四种学习模式的训练：单任务学习、多任务学习、迁移学习和元学习，并且将这四种学习模式融合起来。“只有学会如何学习，掌握学习的方*论法**，才会成为更有潜力的人。”
6、收获的不仅是数学的唤醒。《心中有数》不单单解惑了数学知识在日常生活中的应用，更大的启发在于作者刘雪峰老师用此书生动的演绎了到底什么才是“世事洞明皆学问”。
7、很多数学概念的背后都闪耀着智慧的光芒，这些智慧能帮我们更好地看清这个纷繁复杂的社会，并能够帮助我们在生活中做出更好的决策和行为，你相信吗？
8、“最小二乘估计”“病态方程组”等案例，会让你改变对数学的看法。数学中有一种算法叫作“最小二乘估计”。
9、数学家高斯，曾经用最小二乘估计准确预测出了一颗行星的位置。但是如果你只是背下最小二乘估计的公式x=（ATA）–1ATb，或者只会套用这个公式来解一些书本上的问题，那么你就没有体会到最小二乘估计背后的智慧。通过最小二乘估计找到的解，不力求让少数方程完全成立，而是让所有方程左右两边的误差之和最小，它背后体现出来的思想，是做事情不追求绝对完美，而是在接受不完美的前提下权衡多方利益，找到最佳平衡点。这其实和孔子推崇的“中庸之道”，或者“执两用中”的智慧不谋而合。
10、在线性代数中，有一个概念叫作“病态方程组”，即一个线性方程组y=Ax中y和A的轻微变化会导致解x有极大变化。但如果你仅仅知道病态方程组这个概念，就错过了这个概念背后的智慧：方程组中的每条直线，实际上代表一个视角，而直线的交点，就是从多个视角达成的共识。病态方程组这个例子告诉我们，如果多个人想通过交流的方式达成共识，了解某个事情背后的真相，那么这些人最好有不同的视角。
11、一旦视角太接近，那么这些不同视角交叉得到的共识，会对噪声极为敏感。一点点噪声，都会对最后的结果产生极大的影响，这就是所谓的“失之毫厘，谬以千里”，也是“多样性红利”的数学解释。
12、在计算机科学中，有一个算法叫作“模拟退火算法”。模拟退火算法可以帮助我们通过逐步迭代，找到某一个函数的最优解。
13、在我看来，人生其实就是一个寻找最优解的过程，我们总是通过不断努力提升自己，在最后达到自己可能达到的最高位置。而模拟退火算法告诉我们，一个人在年轻的时候，应该让自己充分探索，接受暂时的不完美，从而避免陷入局部的最优值，并在将来攀上一个更高的山峰。而到了一定阶段，知道自己最适合什么以后，就应该在自己最适合的地方深耕，不要轻易切换赛道。所以，一个大学生毕业之后，应该去大城市闯一闯，多尝试一些行业，而不是老老实实在一个一眼能看到未来的岗位上待一辈子。
14、以上的几个例子，就是数学公式和算法背后的智慧。这些智慧能帮助我们更好地看清这个世界，并在你遇到问题的时候，给你提供更科学的视角，帮助你做出更好的决策和行为。
15、世界观是“事在人为”。 “*命论宿**”。 正确的世界观，应该在这两者之间，叫作概率的世界观。概率的世界观的核心思想很简单：很多事情的最终结果是我们不能保证的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力改变的。
16、最后，愿这本《心中有数》，能让你心中有数，帮你更好地看清这个世界。
17、思维篇 用理性思维看待世界
在概率的世界观中，核心思想有两个。第一，我们无法在事前保证很多事情的最终结果。第二，这个结果发生的概率，是我们可以靠努力改变的。
18、概率的世界观和我们熟知的“谋事在人，成事在天”有相通之处。但是有了概率这个工具，我们对于这句话就有了更清晰的理解：“谋事在人”指的是我们通过努力，可以提高成功的概率；而成事在天，则指的是既然以概率作为衡量标准，那么即使我们做得再好，也不能保证成功。
19、三种世界观：“事在人为”“*命论宿**”和“概率的世界观”。“事在人为”认为“虽然人生无奈，但是我们通过自己的努力，一定可以得到自己想要的结果”。这种观点过于理想化，过于强调人的主观能动性而忽略了不可控、随机的因素，往往会被现实中的挫折打击。
“*命论宿**”认为一切都是确定的，我们什么都不需要做，冥冥中一切自有安排。这种观点过于悲观，并且完全忽视人的主观能动性，也不符合实际情况。
“概率的世界观”则告诉我们两点：第一，很多事情的最终结果在事前只是一个概率，我们不能保证最后的结果，这一点是和“事在人为”的最大区别。第二，虽然不能保证事情最后的结果，但是我们可以改变导致这一结果的概率，这一点是和“*命论宿**”最大的区别。这就是使用概率的世界观的人持有的人生态度：平静接受现实，努力改变概率。
20、看似相关，实则独立：条件独立带来的启发
通用汽车有一个品牌叫庞蒂亚克，相关部门曾经收到某个顾的投诉：每当我买香草冰激凌，汽车都不启动，但如果我买其他口味的冰激凌，汽车就会很好地启动。我非常严肃地看待这事，不管你觉得我有多愚蠢，我都想知道，为什么庞蒂亚克每次遇到香草冰激凌都无法启动？
购买时间又和车的启动有什么关系？工程师对这个顾客的汽车进行检查，发现了“气阻”的问题。气阻通常在发动机较热时出现，如果汽车的供油系统中出现气阻，引擎吸燃料时燃料的供应会变得断断续续，汽车会因此无法启动或者在行进时熄火。这位顾客购买的庞蒂亚克汽车就有气阻的问题。购买其他口味冰激凌花费的时间足以让引擎冷却从而让车顺利启动，而当顾客购买香草冰激凌时，时间短，引擎太热，气阻无法及时消失，汽车因此无法启动。
21、看似相关，实则独立：条件独立带来的启发先来讲一个很有趣的故事。 汽车和冰激凌/穿夹克和车祸发生率
那么在知道事件C发生的前提下，知道事件A或事件B中的一个是否发生，并不能帮助我们更好地推断出另外一个事件发生的概率。这就是条件独立的核心思想。
也就是说，如果事件A和事件B关于事件C条件独立，那么在知道事件C发生的前提下，知道事件A发生并不能帮助我们更好地推断事件B发生的概率。
22、古罗马斯多葛学派哲学家爱比克泰德（Epictetus）曾说：“人并不是被事物本身影响，而是被他们自己对事物的看法左右。”叔本华也说过类似的话：“事物对于我们而言所具有的意义，让我们感到幸福或者不幸，这不取决于它们本来的面貌，而是取决于我们如何看待它们。”
本章我们从一个购买了庞蒂亚克汽车的顾客买冰激凌时发生的奇怪现象说起，谈到了数学中的“条件独立”这一概念。很多情况下，两个事件看似相关，实则关于另外一个事件条件独立。如果我们不挖掘背后的“另外一个事件”，就很容易犯把“相关性”当成“因果性”的错误。
23、方法篇 解决难题的策略和技巧
所谓负反馈，就是把目标（输入）和现实（也就是反馈）的差距作为控制器的输入。当前目标和现实的差距越大，控制器的输入越大，控制力度越大；当前目标和现实的差距越小，控制器的输入越小，控制力度越小。这样反复调节，最后让系统的输出满足目标。
以目标和现实的差距为驱动力，是负反馈的核心。比例控制考虑现在的差距，而积分控制考虑过去一段时间累积的差距。比例控制着眼当下，积分控制总结历史，而微分控制判断未来。
24、在控制系统中还存在一种反馈，即“正反馈”。这里的“正”不是指“正能量”或者“好”，而是指“增强、增加”。
不难看出，当一个系统存在正反馈回路时，反馈越大，控制器的输入就越大，控制对象的输出越大，产生的反馈也越大。所以正反馈回路也叫自增强回路，它的作用是像“滚雪球”一样不断放大、增强原有的发展态势，自我强化。
正反馈有一个被人所熟知的例子，即链式反应。核裂变中的正反馈造成了链式反应：当1个中子轰击铀原子核后，原子核衰变产生3个中子，这3个中子轰击铀原子核后又产生9个中子，然后9个中子轰击铀原子核后又产生27个中子，这样反应下去就产生了巨大的能量。
破窗效应也是一个坏的正反馈，它是指某一个建筑如果一开始有几扇窗户破了并且得不到及时维修，别人就可能会打碎更多的窗户。类似地，如果一面墙上出现一些没有被清洗掉的涂鸦，那么很快墙上就会布满更多乱七八糟的涂鸦。千里之堤之所以会溃于蚁穴，也是因为正反馈的作用。
真正的高手，都会用好的正反馈提升自己。
生活中的数学思维，比如统筹方法可以提高办事效率，二分法可以快速定位到问题的关键，概率可以帮我们做决定时初步估算或避开简单的陷阱。
25、想通过模仿已有的某个事物进行创新，我们首先需要弄清事物产生作用的原理，知道哪些是关键因素，哪些是不必要的限制，然后把关键因素抽离出来，摆脱不必要的限制，就可以改进得更好。抓住本质，摆脱限制，这是通过模仿来创新所需要的重要思想。
比如，在飞机被发明之前，包括达·芬奇在内的很多人都曾想模仿鸟类的飞行让人类飞上天，设计了很多模仿鸟类扇动翅膀的振翼式装置，但无一例外都失败了。因为和鸟类不同，人类的体重和胸肌的力量让人类完全不能靠翅膀飞起来。
鸟能够飞起来的背后原理属于空气动力学，其关键之一是产生向上的升力。人们理解了空气动力学就会发现，振翼可以提供升力，但这只是获得升力的方法之一。这种方法对鸟来说是合适的，鸟有着轻盈的骨架、发达的胸肌和流线型身体，但是对于人来说不合适。
开创了空气动力学的乔治·凯利（George Cayley）在弄清楚鸟飞起来的原因之后，就提出了通过固定机翼的形状来产生向上的升力的思路。后来经莱特兄弟的改进，人们终于实现了飞行的梦想。这也用了“抓住本质，摆脱限制”的思路。我们想要通过模仿鸟的飞行来让人飞上天，首先需要理解鸟的飞行原理，即空气动力学。而根据空气动力学，想飞行需要产生升力。
我们还可以发现，“抓住本质，摆脱限制”这一思路通常贯彻先“自底向上”再“自顶向下”的过程。自底向上，是从现象中提炼出本质和原理；而自顶向下，是从本质和原理出发，结合实际，摆脱限制，设计出新的产品。
26、2018年的图灵奖得主、人工智能领域的标杆人物杨立昆（Yann LeCun）在多年前谈及人工智能的发展方向时，说过下面这段话：模仿自然非常好，但是我们仍然需要在模仿时去理解，哪些细节是重要的，哪些细节仅仅是自然演化的结果，或者是受生物、化学等条件限制得到的产物。
27、注意，上面的方法实际上统计了猜“对”的频率。也就是说，在次数足够多的情况下，“出现某一个结果的频率”等于“该结果的概率”。在统计学中一个名为“大数定律”的词解释了这一现象。大数定律是统计学的基石，它是指只要一件事情发生的次数足够多，它出现某一个结果的频率就会等于其概率。大数定律的成立需要满足“发生的次数足够多”这一条件。只有发生的次数足够多，统计出来的频率才会等于概率，并且发生的次数越多，统计出来的频率越接近概率。
但却是稳定的亏损，这就是“久赌必输”的数学原理。
28、不管是“执两用中”“叩其两端而竭焉”，还是“攻乎异端，斯害也已”，都包含了一个智慧：我们需要在了解各种不同的，甚至相反的意见之后才能提出方案，并且，我们往往只有在这些不同意见之间做出妥协后才能得到最后方案。
29、“执两用中”告诉我们，在面临多方不同的诉求时不能走向极端，而要持中守正，权衡多方的利益，在多个诉求中找平衡。
30、柯克帕特里克对于退火有一个洞见，他解释道，在退火过程中，材料冷却的速度会对其内部结构产生很大的影响。而在物理学中，“温度”和“随机性”是对应的：温度越高，随机性越强。退火的过程，代表随机性从高到低的衰减。
31、人生其实是一个寻找最优解的过程。一开始谁都不是完美的，但是我们可以不断努力提升自己，最后的目标是达到自己可能到达的最优位置。
32、但是算法告诉我们，要求新迈出的每一步都比上一步更好的策略，容易让自己陷入局部最高点：你选择一个工资更高或更稳定的行业，可能会导致你错过另一个虽然现在看起来不太稳定，但是发展潜力巨大的行业。
33、解决的方法是引入随机性：以一定的概率接受暂时的不完美，就可以有效避免陷入局部最高点。这种随机性对应着去大城市闯一闯，尝试各种职业，进而找到自己的兴趣、发现自己的潜力，而不是安安稳稳地一生只从事一个职业。而模拟退火算法则进一步告诉我们，这个随机性应该随着你的年龄慢慢降低。当你年轻时，你可以让这个随机性较大，充分探索外界，让自己接受暂时的不完美，从而避免陷入局部最高点，并且在将来跃上一个更高峰。而在年龄渐长、知道自己最适合什么后，你就要控制随机性，在自己最适合的地方深耕，不轻易切换赛道。
34、“主动预测+从差距中学习”是一种很好的学习方式。
